3166. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

U prevodilačkoj agenciji rade 52 prevodioca. Među njima 20 govori ruski, 19 francuski, a 35 engleski. Dalje, poznato je da ruski i engleski govori 11 prevodilaca, francuski i ruski 7, a francuski i engleski njih 9. b) Koliko njih govori samo ruski?

REŠENJE ZADATKA

Obeležimo skupove prevodilaca prema jezicima koje govore. Neka je $R$ skup onih koji govore ruski, $F$ francuski, a $E$ engleski jezik. Ukupan broj prevodilaca je kardinalni broj unije ovih skupova.

|R \cup F \cup E| = 52

Zapišimo poznate podatke o broju elemenata svakog skupa i njihovih preseka.

\begin{aligned} |R| &= 20 \\ |F| &= 19 \\ |E| &= 35 \\ |R \cap E| &= 11 \\ |F \cap R| &= 7 \\ |F \cap E| &= 9 \end{aligned}

Da bismo našli koliko prevodilaca govori samo ruski, prvo moramo naći koliko njih govori sva tri jezika. Neka je to broj $x = |R \cap F \cap E| .$ Koristimo formulu uključenja-isključenja za tri skupa.

|R \cup F \cup E| = |R| + |F| + |E| - |R \cap F| - |R \cap E| - |F \cap E| + |R \cap F \cap E|

Zamenimo poznate vrednosti u formulu kako bismo našli $x .$

52 = 20 + 19 + 35 - 7 - 11 - 9 + x

Sredimo jednačinu i računamo $x .$

\begin{aligned} 52 &= 74 - 27 + x \\ 52 &= 47 + x \\ x &= 5 \end{aligned}

Dakle, 5 prevodilaca govori sva tri jezika. Sada računamo koliko njih govori samo ruski jezik. To su oni koji govore ruski, ali ne govore ni francuski ni engleski.

|R \setminus (F \cup E)| = |R| - |R \cap F| - |R \cap E| + |R \cap F \cap E|

Zamenimo vrednosti u formulu za broj onih koji govore samo ruski.

|R \setminus (F \cup E)| = 20 - 7 - 11 + 5

Izvršimo konačno sabiranje i oduzimanje.

|R \setminus (F \cup E)| = 20 - 18 + 5 = 7

Zaključujemo da tačno 7 prevodilaca govori samo ruski jezik.

7

59.b