1196. Stepen sa racionalnim izložiocem

Radi lakšeg rešavanja i preglednosti, uvodimo smene $a = x^{\frac{1}{4}}$ i $b = y^{\frac{1}{4}} .$

a = x^{\frac{1}{4}}, \quad b = y^{\frac{1}{4}}

Na osnovu ovih smena, izražavamo ostale članove iz druge zagrade na levoj strani jednakosti:

x^{\frac{1}{2}} = a^2, \quad y^{\frac{1}{2}} = b^2, \quad x^{\frac{3}{4}} = a^3, \quad y^{\frac{3}{4}} = b^3

Zamenjujemo nove promenljive u levu stranu početne jednakosti.

(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)

Množimo svaki član prve zagrade sa svakim članom druge zagrade (distributivni zakon).

a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 - a^3b - a^2b^2 - ab^3 - b^4

Grupišemo i poništavamo suprotne članove u dobijenom izrazu.

a^4 + (a^3b - a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (ab^3 - ab^3) - b^4 = a^4 - b^4

Vraćamo početne smene $a = x^{\frac{1}{4}}$ i $b = y^{\frac{1}{4}}$ u dobijeni rezultat.

\left(x^{\frac{1}{4}}\right)^4 - \left(y^{\frac{1}{4}}\right)^4

Računamo stepen stepena primenom pravila $(x^m)^n = x^{m \cdot n} .$

x^{\frac{1}{4} \cdot 4} - y^{\frac{1}{4} \cdot 4}

Sređivanjem eksponenata dobijamo desnu stranu početne jednakosti, čime je dokaz završen.

x^1 - y^1 = x - y

1196.Stepen sa racionalnim izložiocem