1204.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet za x>0 x > 0 i x≠1: x \neq 1 :

1−x−121+x−12+1+x−121−x−12=21+x−11−x−1\frac{1 - x^{-\frac{1}{2}}}{1 + x^{-\frac{1}{2}}} + \frac{1 + x^{-\frac{1}{2}}}{1 - x^{-\frac{1}{2}}} = 2 \frac{1 + x^{-1}}{1 - x^{-1}}
REŠENJE ZADATKA

Započinjemo dokaz transformacijom leve strane jednakosti. Svodimo razlomke na zajednički imenilac.

(1−x−12)2+(1+x−12)2(1+x−12)(1−x−12)\frac{(1 - x^{-\frac{1}{2}})^2 + (1 + x^{-\frac{1}{2}})^2}{(1 + x^{-\frac{1}{2}})(1 - x^{-\frac{1}{2}})}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata u imeniocu, a u brojiocu kvadriramo binome.

(1−2x−12+x−1)+(1+2x−12+x−1)1−(x−12)2\frac{(1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1}) + (1 + 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1})}{1 - (x^{-\frac{1}{2}})^2}

Podsećanje na formule za kvadrat binoma i razliku kvadrata koje su primenjene u prethodnom koraku:

(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a−b)=a2−b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2, \quad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Sređujemo izraz u brojiocu tako što sabiramo odgovarajuće članove. Članovi −2x−12 -2x^{-\frac{1}{2}} i 2x−12 2x^{-\frac{1}{2}} se potiru, a u imeniocu množimo izložioce.

1−2x−12+x−1+1+2x−12+x−11−x−1=2+2x−11−x−1\frac{1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1} + 1 + 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1}}{1 - x^{-1}} = \frac{2 + 2x^{-1}}{1 - x^{-1}}

Izdvajamo broj 2 kao zajednički činilac u brojiocu.

21+x−11−x−12 \frac{1 + x^{-1}}{1 - x^{-1}}

Dobijeni izraz je tačno jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet uspešno dokazan.

1−x−121+x−12+1+x−121−x−12=21+x−11−x−1\frac{1 - x^{-\frac{1}{2}}}{1 + x^{-\frac{1}{2}}} + \frac{1 + x^{-\frac{1}{2}}}{1 - x^{-\frac{1}{2}}} = 2 \frac{1 + x^{-1}}{1 - x^{-1}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti