1223.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz, uz uslove x>0 x > 0 i x≠1: x \neq 1 :

x−1x+x1/2+1:x0,5+1x1,5−1+2x−0,5\frac{x - 1}{x + x^{1/2} + 1} : \frac{x^{0,5} + 1}{x^{1,5} - 1} + \frac{2}{x^{-0,5}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo prepisati decimalne eksponente u obliku razlomaka, a član 2x−0,5 \frac{2}{x^{-0,5}} ćemo prebaciti u brojilac primenom pravila 1a−n=an: \frac{1}{a^{-n}} = a^n :

x−1x+x1/2+1:x1/2+1x3/2−1+2x1/2\frac{x - 1}{x + x^{1/2} + 1} : \frac{x^{1/2} + 1}{x^{3/2} - 1} + 2x^{1/2}

Radi lakšeg računanja, uvodimo smenu t=x1/2. t = x^{1/2} . Tada je x=t2 x = t^2 i x3/2=(x1/2)3=t3. x^{3/2} = (x^{1/2})^3 = t^3 . Izraz sada postaje:

t2−1t2+t+1:t+1t3−1+2t\frac{t^2 - 1}{t^2 + t + 1} : \frac{t + 1}{t^3 - 1} + 2t

Primenjujemo formule za razliku kvadrata na t2−1 t^2 - 1 i razliku kubova na t3−1: t^3 - 1 :

(t−1)(t+1)t2+t+1:t+1(t−1)(t2+t+1)+2t\frac{(t - 1)(t + 1)}{t^2 + t + 1} : \frac{t + 1}{(t - 1)(t^2 + t + 1)} + 2t

Deljenje razlomaka zamenjujemo množenjem sa recipročnom vrednošću:

(t−1)(t+1)t2+t+1⋅(t−1)(t2+t+1)t+1+2t\frac{(t - 1)(t + 1)}{t^2 + t + 1} \cdot \frac{(t - 1)(t^2 + t + 1)}{t + 1} + 2t

Sada možemo da skratimo iste činioce u brojiocu i imeniocu, odnosno t+1 t + 1 i t2+t+1: t^2 + t + 1 :

(t−1)(t−1)+2t(t - 1)(t - 1) + 2t

Množimo preostale članove (što predstavlja kvadrat binoma) i dodajemo 2t: 2t :

(t2−2t+1)+2t(t^2 - 2t + 1) + 2t

Nakon sređivanja dobijamo uprošćen izraz u zavisnosti od t: t :

t2+1t^2 + 1

Vraćamo smenu t=x1/2, t = x^{1/2} , pri čemu je t2=x, t^2 = x , kako bismo dobili konačno rešenje:

x+1x + 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti