2407.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz korišćenjem adicionih formula i svođenjem na oštar ugao:

(sin⁡(180∘+α)+cos⁡(90∘+α))2+(cos⁡(360∘−α)−sin⁡(270∘−α))2(\sin(180^\circ + \alpha) + \cos(90^\circ + \alpha))^2 + (\cos(360^\circ - \alpha) - \sin(270^\circ - \alpha))^2
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo pravila za svođenje na oštar ugao za svaki član unutar zagrada. Prvo posmatramo članove u prvoj zagradi:

sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α(III kvadrant, sinus je negativan)cos⁡(90∘+α)=−sin⁡α(II kvadrant, kosinus prelazi u sinus i negativan je)\begin{aligned} \sin(180^\circ + \alpha) &= -\sin \alpha \quad (\text{III kvadrant, sinus je negativan}) \\ \cos(90^\circ + \alpha) &= -\sin \alpha \quad (\text{II kvadrant, kosinus prelazi u sinus i negativan je}) \end{aligned}

Zatim posmatramo članove u drugoj zagradi:

cos⁡(360∘−α)=cos⁡α(IV kvadrant, kosinus je pozitivan)sin⁡(270∘−α)=−cos⁡α(III kvadrant, sinus prelazi u kosinus i negativan je)\begin{aligned} \cos(360^\circ - \alpha) &= \cos \alpha \quad (\text{IV kvadrant, kosinus je pozitivan}) \\ \sin(270^\circ - \alpha) &= -\cos \alpha \quad (\text{III kvadrant, sinus prelazi u kosinus i negativan je}) \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz:

((−sin⁡α)+(−sin⁡α))2+((cos⁡α)−(−cos⁡α))2((-\sin \alpha) + (-\sin \alpha))^2 + ((\cos \alpha) - (-\cos \alpha))^2

Sređujemo izraze unutar zagrada:

(−2sin⁡α)2+(2cos⁡α)2(-2\sin \alpha)^2 + (2\cos \alpha)^2

Kvadriramo monome:

4sin⁡2α+4cos⁡2α4\sin^2 \alpha + 4\cos^2 \alpha

Izvlačimo zajednički faktor 4 ispred zagrade i koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1: \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 :

4(sin⁡2α+cos⁡2α)=4⋅1=44(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 4 \cdot 1 = 4

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti