266.

4. Tangenta

TEKST ZADATKA

Odrediti jednačinu tangentne i normale grafika funkcije y=−x2−1y=-x^2-1 u tački x=2x=2

REŠENJE ZADATKA

Treba odrediti koordinate tačke (x0, y0)(x_0, \space y_0) kroz koju prolazi tangenta. Vrednost x0=2x_0=2 data je u zadatku. Da bi se izračunalo y0y_0 potrebno je izračunati vrednost funkcije u tački x0=2,x_{0}=2, odnosno izračunati y(2)y(2) uvrštavanjem dvojke u jednačinu krive.

y(2)=−22−1=−4−1=−5y(2)=-2^2-1=-4-1=-5

Dakle tačka kroz koju prolazi tražena tangenta ima koordinate (x0, y0)(x_0, \space y_0) gde su:

x0=2,y0=−5x_0=2, \quad y_0=-5

Izračunati prvi izvod funkcije yy po x.x.

y′=−2xy'=-2x

Vrednost izvoda u dobijenoj tački (2,−5)(2, -5) je:

y′(2)=−2⋅2=−4y'(2)=-2\cdot2=-4

Uvrstiti dobijene vrednosti u jednačinu tangente: y−y0=y′(x0)⋅(x−x0)y-y_0=y'(x_0)\cdot(x-x_0)

y−(−5)=−4⋅(x−2)y-(-5)=-4\cdot(x-2)

Jednačina tangente je:

t:y=−4x+3t:y=-4x+3

Odrediti jednačinu normale po formuli: y−y0=−1y′(x0)⋅(x−x0)y-y_0=-\frac{1}{y'(x_0)}\cdot(x-x_0)

y−(−5)=−1−4⋅(x−2)y-(-5)=-\frac{1}{-4}\cdot(x-2)

Jednačina normale je:

n:y=14x−112n: y=\frac{1}{4}x-\frac{11}{2}