273. Tangenta i normala

TEKST ZADATKA

Odrediti jednačinu tangentne grafika funkcije $y=2^x+2^{2x}$ u tački $x=2$

REŠENJE ZADATKA

Treba odrediti koordinate tačke $(x_0, y_0)$ kroz koju prolazi tangenta. Vrednost $x_0=2$ data je u zadatku. Da bi se izračunalo $y_0$ potrebno je izračunati vrednost funkcije u tački $x_0=2,$ odnosno izračunati $y(2)$ uvrštavanjem dvojke u jednačinu krive.

y(2)=2^2+2^{2\cdot2}=4+16=20

Dakle tačka kroz koju prolazi tražena tangenta ima koordinate $(x_0, \space y_0)$ gde su:

x_0=2, \quad y_0=20

Prvi izvod funkcije $y$ po $x$ računa se kao izvod složene funkcije.

y'=2^x\ln{2}+2^{2x}\ln{2}\cdot(2x)'

y'=2^x\ln{2}+2\cdot2^{2x}\ln{2}

Vrednost izvoda u dobijenoj tački $(2, 20)$ je:

y'(2)=\ln{2}(2^2+2\cdot2^4)=36\ln{2}

Uvrstiti dobijene vrednosti u jednačinu tangente: $y-y_0=y'(x_0)\cdot(x-x_0)$

y-20=36\ln{2}\cdot(x-2)

Jednačina tangente je:

y=36x\ln{2}-72\ln{2}+20

9. Tangenta