2648.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Neka su α, \alpha , β \beta i γ \gamma uglovi trougla. Dokazati sledeće relacije:

1)sin⁡α2=cos⁡β+γ22)cos⁡α2=sin⁡β+γ23)tg α2=ctg β+γ21) \sin \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \\ 2) \cos \frac{\alpha}{2} = \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \\ 3) \text{tg } \frac{\alpha}{2} = \text{ctg } \frac{\beta + \gamma}{2}
REŠENJE ZADATKA

Znamo da je zbir unutrašnjih uglova trougla 180∘, 180^\circ , odnosno π \pi radijana. Iz toga sledi veza između uglova:

α+β+γ=π  ⟹  β+γ=π−α\alpha + \beta + \gamma = \pi \implies \beta + \gamma = \pi - \alpha

Podelimo obe strane dobijene jednakosti sa 2 kako bismo dobili argumente koji se pojavljuju u zadatku:

β+γ2=π−α2=π2−α2\frac{\beta + \gamma}{2} = \frac{\pi - \alpha}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}

Dokazujemo prvu relaciju. Koristimo formulu za kofunkciju (svođenje na prvi kvadrant):

cos⁡β+γ2=cos⁡(π2−α2)=sin⁡α2\cos \frac{\beta + \gamma}{2} = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \right) = \sin \frac{\alpha}{2}

Dokazujemo drugu relaciju na sličan način, koristeći vezu između sinusa i kosinusa komplementnih uglova:

sin⁡β+γ2=sin⁡(π2−α2)=cos⁡α2\sin \frac{\beta + \gamma}{2} = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \right) = \cos \frac{\alpha}{2}

Dokazujemo treću relaciju koristeći definiciju tangensa i kotangensa preko sinusa i kosinusa, ili direktno preko kofunkcija:

ctg β+γ2=ctg (π2−α2)=tg α2\text{ctg } \frac{\beta + \gamma}{2} = \text{ctg } \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \right) = \text{tg } \frac{\alpha}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti