2658.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: cos⁡(π3−α)−cos⁡(π3+α)=3sin⁡α. \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = \sqrt{3} \sin \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo adicionu formulu za transformaciju razlike kosinusa u proizvod: cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2. \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} . U našem slučaju je A=π3−α A = \frac{\pi}{3} - \alpha i B=π3+α. B = \frac{\pi}{3} + \alpha .

Uvrštavamo vrednosti u formulu:

cos⁡(π3−α)−cos⁡(π3+α)=−2sin⁡(π3−α)+(π3+α)2sin⁡(π3−α)−(π3+α)2\cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = -2 \sin \frac{\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)}{2} \sin \frac{\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)}{2}

Sređujemo izraze unutar sinusa. Za prvi sinus imamo:

π3−α+π3+α2=2π32=π3\frac{\frac{\pi}{3} - \alpha + \frac{\pi}{3} + \alpha}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}

Za drugi sinus imamo:

π3−α−π3−α2=−2α2=−α\frac{\frac{\pi}{3} - \alpha - \frac{\pi}{3} - \alpha}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha

Sada izraz postaje:

−2sin⁡(π3)sin⁡(−α)-2 \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \sin(-\alpha)

Koristimo neparnost sinusne funkcije sin⁡(−α)=−sin⁡α \sin(-\alpha) = -\sin \alpha i poznatu vrednost sin⁡π3=32: \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} :

−2⋅32⋅(−sin⁡α)-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sin \alpha)

Množenjem faktora i skraćivanjem dvojki dobijamo konačan rezultat:

2⋅32⋅sin⁡α=3sin⁡α2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin \alpha = \sqrt{3} \sin \alpha

Ovim je identitet dokazan.

3sin⁡α=3sin⁡α\sqrt{3} \sin \alpha = \sqrt{3} \sin \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti