2676.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Transformisati u proizvod: 1−4cos⁡2α 1 - 4 \cos^2 \alpha

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo izraz 4cos⁡2α 4 \cos^2 \alpha kao 2⋅(2cos⁡αcos⁡α) 2 \cdot (2 \cos \alpha \cos \alpha) kako bismo iskoristili formulu za proizvod trigonometrijskih funkcija.

1−4cos⁡2α=1−2(2cos⁡αcos⁡α)1 - 4 \cos^2 \alpha = 1 - 2(2 \cos \alpha \cos \alpha)

Primenjujemo datu formulu za proizvod kosinusa: cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)) \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) za slučaj kada je β=α. \beta = \alpha .

1−2(2⋅12(cos⁡(α+α)+cos⁡(α−α)))=1−2(cos⁡2α+cos⁡0)1 - 2 \left( 2 \cdot \frac{1}{2} (\cos(\alpha + \alpha) + \cos(\alpha - \alpha)) \right) = 1 - 2(\cos 2\alpha + \cos 0)

Zamenjujemo vrednost cos⁡0=1 \cos 0 = 1 i oslobađamo se zagrade.

1−2(cos⁡2α+1)=1−2cos⁡2α−2=−1−2cos⁡2α1 - 2(\cos 2\alpha + 1) = 1 - 2 \cos 2\alpha - 2 = -1 - 2 \cos 2\alpha

Izvlačimo zajednički faktor −2 -2 ispred zagrade kako bismo u zagradi dobili zbir koji možemo transformisati.

−1−2cos⁡2α=−2(12+cos⁡2α)-1 - 2 \cos 2\alpha = -2 \left( \frac{1}{2} + \cos 2\alpha \right)

Zamenjujemo 12 \frac{1}{2} sa cos⁡π3. \cos \frac{\pi}{3} .

−2(cos⁡π3+cos⁡2α)-2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos 2\alpha \right)

Primenjujemo formulu za transformaciju zbira kosinusa u proizvod: cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡x+y2cos⁡x−y2. \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} .

−2(2cos⁡π3+2α2cos⁡π3−2α2)-2 \left( 2 \cos \frac{\frac{\pi}{3} + 2\alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3} - 2\alpha}{2} \right)

Množimo konstante i delimo argumente sa 2 2 kako bismo dobili konačan proizvod.

−4cos⁡(π6+α)cos⁡(π6−α)-4 \cos \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti