2682.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Zbir uglova u trouglu je $180^\circ ,$ pa važi:

Primenjujemo formulu za zbir sinusa na prva dva člana jednačine $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} :$

Iz relacije za uglove trougla izražavamo zbir $\alpha + \beta$ preko $\gamma :$

Zamenjujemo ovo u izraz za sinus i koristimo redukcionu formulu $\sin(270^\circ - x) = -\cos x :$

Treći član jednačine transformišemo koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2x = 2 \sin x \cos x :$

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu:

Izvlačimo zajednički faktor $-2 \cos\left(\frac{3\gamma}{2}\right)$ ispred zagrade:

Sada izražavamo $\sin\left(\frac{3\gamma}{2}\right)$ preko $\alpha$ i $\beta ,$ koristeći $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) :$

Zamenjujemo ovo u izraz unutar zagrade:

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$ na izraz u zagradi:

Kako je kosinus parna funkcija, važi $\cos(-x) = \cos x ,$ pa jednačina postaje:

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od faktora jednak nuli. Dakle, važi bar jedno od sledećeg:

Pretpostavimo da je prvi faktor jednak nuli. Kako je $\alpha$ ugao trougla, važi $0^\circ < \alpha < 180^\circ ,$ pa je $0^\circ < \frac{3\alpha}{2} < 270^\circ .$ Jedino rešenje u ovom intervalu je: