TEKST ZADATKA
Dokazati da iz svake od relacija a) i b) sledi da je trougao pravougli: sin α = sin β + sin γ cos β + cos γ \sin \alpha = \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{\cos \beta + \cos \gamma} sin α = c o s β + c o s γ s i n β + s i n γ
REŠENJE ZADATKA
Primenjujemo formule za transformaciju zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod na desnu stranu jednakosti.
sin β + sin γ cos β + cos γ = 2 sin β + γ 2 cos β − γ 2 2 cos β + γ 2 cos β − γ 2 \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{\cos \beta + \cos \gamma} = \frac{2 \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{2 \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}} cos β + cos γ sin β + sin γ = 2 cos 2 β + γ cos 2 β − γ 2 sin 2 β + γ cos 2 β − γ Skraćujemo razlomak sa 2 cos β − γ 2 . 2 \cos \frac{\beta - \gamma}{2} . 2 cos 2 β − γ . Ovo je dozvoljeno jer su β \beta β i γ \gamma γ uglovi u trouglu, pa je − π 2 < β − γ 2 < π 2 , -\frac{\pi}{2} < \frac{\beta - \gamma}{2} < \frac{\pi}{2} , − 2 π < 2 β − γ < 2 π , što znači da je kosinus uvek strogo pozitivan.
2 sin β + γ 2 cos β − γ 2 2 cos β + γ 2 cos β − γ 2 = sin β + γ 2 cos β + γ 2 = tan β + γ 2 \frac{2 \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{2 \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}} = \frac{\sin \frac{\beta + \gamma}{2}}{\cos \frac{\beta + \gamma}{2}} = \tan \frac{\beta + \gamma}{2} 2 cos 2 β + γ cos 2 β − γ 2 sin 2 β + γ cos 2 β − γ = cos 2 β + γ sin 2 β + γ = tan 2 β + γ Znamo da je zbir uglova u trouglu α + β + γ = π , \alpha + \beta + \gamma = \pi , α + β + γ = π , pa možemo izraziti β + γ 2 \frac{\beta + \gamma}{2} 2 β + γ preko ugla α . \alpha . α .
β + γ 2 = π − α 2 = π 2 − α 2 \frac{\beta + \gamma}{2} = \frac{\pi - \alpha}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} 2 β + γ = 2 π − α = 2 π − 2 α Zamenjujemo dobijeni izraz u tangens i koristimo osobinu komplementarnih uglova.
tan ( π 2 − α 2 ) = cot α 2 \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \right) = \cot \frac{\alpha}{2} tan ( 2 π − 2 α ) = cot 2 α Sada početna jednakost iz zadatka dobija jednostavniji oblik.
sin α = cot α 2 \sin \alpha = \cot \frac{\alpha}{2} sin α = cot 2 α Izražavamo sin α \sin \alpha sin α preko formule za sinus dvostrukog ugla, a kotangens preko sinusa i kosinusa.
2 sin α 2 cos α 2 = cos α 2 sin α 2 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} 2 sin 2 α cos 2 α = sin 2 α cos 2 α Pošto je α \alpha α ugao u trouglu, važi 0 < α < π , 0 < \alpha < \pi , 0 < α < π , pa je cos α 2 ≠ 0 \cos \frac{\alpha}{2} \neq 0 cos 2 α = 0 i sin α 2 ≠ 0. \sin \frac{\alpha}{2} \neq 0 . sin 2 α = 0. Delimo jednačinu sa cos α 2 \cos \frac{\alpha}{2} cos 2 α i množimo sa sin α 2 . \sin \frac{\alpha}{2} . sin 2 α .
2 sin 2 α 2 = 1 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 2 sin 2 2 α = 1 Računamo vrednost za sin α 2 . \sin \frac{\alpha}{2} . sin 2 α . Uzimamo samo pozitivnu vrednost korena jer je sinus pozitivan za uglove između 0 0 0 i π 2 . \frac{\pi}{2} . 2 π .
sin 2 α 2 = 1 2 ⟹ sin α 2 = 2 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} \implies \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} sin 2 2 α = 2 1 ⟹ sin 2 α = 2 2 Određujemo ugao α . \alpha . α .
α 2 = π 4 ⟹ α = π 2 \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} \implies \alpha = \frac{\pi}{2} 2 α = 4 π ⟹ α = 2 π Pošto je ugao α \alpha α jednak π 2 \frac{\pi}{2} 2 π (odnosno 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ ), dokazali smo da je trougao pravougli.
α = 90 ∘ \alpha = 90^\circ α = 9 0 ∘