2703.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (zadaci 787-790):

sin⁡α+cos⁡(2β−α)cos⁡α−sin⁡(2β−α)=ctg(π4−β)\frac{\sin \alpha + \cos(2\beta - \alpha)}{\cos \alpha - \sin(2\beta - \alpha)} = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)
REŠENJE ZADATKA

Da bismo transformisali zbir u proizvod, prvo ćemo prevesti funkcije sin⁡α \sin \alpha i cos⁡α \cos \alpha u odgovarajuće kofunkcije koristeći osobine komplementarnih uglova.

sin⁡α=cos⁡(π2−α)cos⁡α=sin⁡(π2−α)\begin{aligned} \sin \alpha &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \\ \cos \alpha &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \end{aligned}

Zamenjujemo ove izraze u početni izraz na levoj strani jednakosti.

cos⁡(π2−α)+cos⁡(2β−α)sin⁡(π2−α)−sin⁡(2β−α)\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(2\beta - \alpha)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \sin(2\beta - \alpha)}

Primenjujemo formule za transformaciju zbira kosinusa i razlike sinusa u proizvod.

cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡x+y2cos⁡x−y2sin⁡x−sin⁡y=2sin⁡x−y2cos⁡x+y2\begin{aligned} \cos x + \cos y &= 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \\ \sin x - \sin y &= 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} \end{aligned}

Računamo brojilac primenom formule za zbir kosinusa.

cos⁡(π2−α)+cos⁡(2β−α)=2cos⁡π2−α+2β−α2cos⁡π2−α−(2β−α)2\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(2\beta - \alpha) = 2 \cos \frac{\frac{\pi}{2} - \alpha + 2\beta - \alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{2} - \alpha - (2\beta - \alpha)}{2}

Sređujemo argumente u brojiocu.

2cos⁡π2−2α+2β2cos⁡π2−2β2=2cos⁡(π4−α+β)cos⁡(π4−β)2 \cos \frac{\frac{\pi}{2} - 2\alpha + 2\beta}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{2} - 2\beta}{2} = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha + \beta\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)

Računamo imenilac primenom formule za razliku sinusa.

sin⁡(π2−α)−sin⁡(2β−α)=2sin⁡π2−α−(2β−α)2cos⁡π2−α+2β−α2\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \sin(2\beta - \alpha) = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{2} - \alpha - (2\beta - \alpha)}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{2} - \alpha + 2\beta - \alpha}{2}

Sređujemo argumente u imeniocu.

2sin⁡π2−2β2cos⁡π2−2α+2β2=2sin⁡(π4−β)cos⁡(π4−α+β)2 \sin \frac{\frac{\pi}{2} - 2\beta}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{2} - 2\alpha + 2\beta}{2} = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha + \beta\right)

Vraćamo dobijene izraze u razlomak.

2cos⁡(π4−α+β)cos⁡(π4−β)2sin⁡(π4−β)cos⁡(π4−α+β)\frac{2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha + \beta\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)}{2 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha + \beta\right)}

Skraćujemo zajedničke faktore 2 2 i cos⁡(π4−α+β). \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha + \beta\right) .

cos⁡(π4−β)sin⁡(π4−β)\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)}

Primenjujemo definiciju kotangensa ctgx=cos⁡xsin⁡x \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} čime dobijamo desnu stranu i dokazujemo identitet.

ctg(π4−β)\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti