3835. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Potrebno je naći kvadrat i kub izraza $x + y + z .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo kvadrat trinoma koristeći formulu $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc .$

(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz

Sada računamo kub trinoma. Izraz možemo posmatrati kao binom $((x + y) + z)^3$ i primeniti formulu za kub zbira $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 .$

(x + y + z)^3 = ((x + y) + z)^3

Primenjujemo formulu za kub zbira gde je $A = x + y$ i $B = z .$

(x + y + z)^3 = (x + y)^3 + 3(x + y)^2z + 3(x + y)z^2 + z^3

Razvijamo članove $(x + y)^3$ i $(x + y)^2 .$

(x + y + z)^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + 3(x^2 + 2xy + y^2)z + 3(x + y)z^2 + z^3

Sređujemo izraz množenjem preostalih članova.

(x + y + z)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 3x^2z + 6xyz + 3y^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + z^3

Konačan oblik kuba trinoma grupisanjem kubova i ostalih članova.

(x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2) + 6xyz

585.đ