3859. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Koristeći formule za zbir i razliku kubova rastaviti na činioce sledeći polinom: $(2x + 3y)^3 - (3x - 2y)^3$

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formulu za razliku kubova: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) .$ U ovom slučaju identifikujemo članove:

a = 2x + 3y, \quad b = 3x - 2y

Prvi činilac dobijamo oduzimanjem drugog izraza od prvog:

a - b = (2x + 3y) - (3x - 2y) = 2x + 3y - 3x + 2y = -x + 5y

Drugi činilac formiramo prema formuli $a^2 + ab + b^2 :$

(2x + 3y)^2 + (2x + 3y)(3x - 2y) + (3x - 2y)^2

Kvadriramo prvi i treći sabirak i množimo srednji sabirak:

(4x^2 + 12xy + 9y^2) + (6x^2 - 4xy + 9xy - 6y^2) + (9x^2 - 12xy + 4y^2)

Sređujemo izraz unutar druge zagrade grupisanjem sličnih članova:

(4x^2 + 6x^2 + 9x^2) + (12xy - 4xy + 9xy - 12xy) + (9y^2 - 6y^2 + 4y^2) = 19x^2 + 5xy + 7y^2

Konačan rastavljen oblik polinoma je proizvod dva dobijena činioca:

(2x + 3y)^3 - (3x - 2y)^3 = (-x + 5y)(19x^2 + 5xy + 7y^2)

587.o