888.

Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

2sin⁡2x−sin⁡x−1>02\sin^2x-\sin x-1>0
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu sin⁡x=t.\sin x=t.

2t2−t−1>02t^2-t-1>0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

2t2−t−1=02t^2-t-1=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=2,a=2, b=−1b=-1 i c=−1c=-1

t1,2=1±(−1)2−4⋅2⋅(−1)2⋅2  ⟹  t1=−12,t2=1t_{1,2}=\frac {1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)}} {2\cdot2} \implies t_1=-\frac12, \quad t_2=1

Rastaviti nejednačinu po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratne jednačine t1t_1 i t2.t_2.

2(t+12)(t−1)>02(t+\frac12)(t-1)>0
t∈(−∞,−12)t\in(-\infty,-\frac12)
t∈(−12,1)t\in(-\frac12, 1)
t∈(1,∞)t\in(1,\infty)
t+12t+\frac12
−-
++
++
t−1t-1
−-
−-
++
(t+12)(t−1)(t+\frac12)(t-1)
++
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t∈(−∞,−12) ∪(1,∞)t\in\bigg(-\infty,-\frac12\bigg) \ \cup (1,\infty)

Vratiti sin⁡x\sin x umesto smene t:t:

sin⁡x∈(−∞,−12) ∪(1,∞)\sin x\in\bigg(-\infty,-\frac12\bigg) \ \cup (1,\infty)

Rešenje nejednačine je:

x∈(7π6+2kπ, 11π6+2kπ),k∈Zx\in\bigg(\frac{7\pi}6+2k\pi, \ \frac{11\pi}6+2k\pi\bigg), \quad k\in\mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti