2508.

682.b

TEKST ZADATKA

Pokazati da važi identitet: cos⁡2α=1−2sin⁡2α. \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od osnovne formule za kosinus dvostrukog ugla:

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Znamo osnovni trigonometrijski identitet koji povezuje sinus i kosinus istog ugla:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Iz osnovnog identiteta izražavamo cos⁡2α \cos^2 \alpha preko sin⁡2α: \sin^2 \alpha :

cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha

Sada zamenjujemo dobijeni izraz za cos⁡2α \cos^2 \alpha u početnu formulu za dvostruki ugao:

cos⁡2α=(1−sin⁡2α)−sin⁡2α\cos 2\alpha = (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha

Sređivanjem izraza i sabiranjem sličnih članova, dobijamo traženi identitet:

cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha