2515.

702

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

2−sin⁡4α tg 2αsin⁡4α=ctg 2α\frac{2 - \sin 4\alpha \text{ tg } 2\alpha}{\sin 4\alpha} = \text{ctg } 2\alpha
REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane izraza i transformišemo je koristeći trigonometrijske identitete. Prvo ćemo izraziti sin⁡4α \sin 4\alpha preko funkcija ugla 2α 2\alpha koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x. \sin 2x = 2 \sin x \cos x .

sin⁡4α=2sin⁡2αcos⁡2α\sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha

Zamenjujemo dobijeni izraz i definiciju tangensa tg 2α=sin⁡2αcos⁡2α \text{tg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} u brojilac leve strane.

L=2−(2sin⁡2αcos⁡2α)⋅sin⁡2αcos⁡2α2sin⁡2αcos⁡2αL = \frac{2 - (2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha) \cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}}{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}

Sređujemo brojilac skraćivanjem člana cos⁡2α. \cos 2\alpha .

L=2−2sin⁡22α2sin⁡2αcos⁡2αL = \frac{2 - 2 \sin^2 2\alpha}{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}

U brojiocu izvlačimo zajednički faktor 2.

L=2(1−sin⁡22α)2sin⁡2αcos⁡2αL = \frac{2(1 - \sin^2 2\alpha)}{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1, \sin^2 x + \cos^2 x = 1 , odakle sledi 1−sin⁡22α=cos⁡22α. 1 - \sin^2 2\alpha = \cos^2 2\alpha .

L=2cos⁡22α2sin⁡2αcos⁡2αL = \frac{2 \cos^2 2\alpha}{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}

Skraćujemo razlomak sa zajedničkim faktorom 2cos⁡2α. 2 \cos 2\alpha .

L=cos⁡2αsin⁡2αL = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}

Na osnovu definicije kotangensa ctg x=cos⁡xsin⁡x, \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x} , dobijamo krajnji izraz koji odgovara desnoj strani identiteta.

L=ctg 2αL = \text{ctg } 2\alpha