2523.

692.a

TEKST ZADATKA

Dokazati jednakost: sin⁡15∘cos⁡15∘=14. \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{4} .

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da leva strana izraza podseća na formulu za sinus dvostrukog ugla: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α. \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha . Da bismo mogli da primenimo ovu formulu, pomnožićemo i podeliti levu stranu brojem 2.

L=sin⁡15∘cos⁡15∘=2sin⁡15∘cos⁡15∘2L = \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ}{2}

Sada primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla u brojocu, gde je α=15∘. \alpha = 15^\circ .

2sin⁡15∘cos⁡15∘=sin⁡(2⋅15∘)=sin⁡30∘2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ

Zamenjujemo dobijeni izraz u naš početni razlomak.

L=sin⁡30∘2L = \frac{\sin 30^\circ}{2}

Znamo da je vrednost sinusa za ugao od 30∘ 30^\circ jednaka 12. \frac{1}{2} . Računamo konačnu vrednost izraza.

L=122=14L = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}

Dobijena vrednost na levoj strani odgovara vrednosti na desnoj strani, čime je dokaz završen.

14=14\frac{1}{4} = \frac{1}{4}