2829.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu:

sin⁡x=1+cos⁡x2\sin x = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formulu za polovinu ugla cos⁡2x2=1+cos⁡x2 \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} na izraz pod korenom.

sin⁡x=cos⁡2x2\sin x = \sqrt{\cos^2 \frac{x}{2}}

Koren kvadrata nekog izraza jednak je apsolutnoj vrednosti tog izraza, pa dobijamo:

sin⁡x=∣cos⁡x2∣\sin x = \left|\cos \frac{x}{2}\right|

Definišemo apsolutnu vrednost izraza cos⁡x2: \cos \frac{x}{2} :

∣cos⁡x2∣={cos⁡x2,za cos⁡x2≥0−cos⁡x2,za cos⁡x2<0\left|\cos \frac{x}{2}\right| = \begin{cases} \cos \frac{x}{2}, & \text{za } \cos \frac{x}{2} \ge 0 \\ -\cos \frac{x}{2}, & \text{za } \cos \frac{x}{2} < 0 \end{cases}

Takođe, primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na levu stranu jednačine, sin⁡x=2sin⁡x2cos⁡x2: \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} :

2sin⁡x2cos⁡x2=∣cos⁡x2∣2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \left|\cos \frac{x}{2}\right|

**Prvi slučaj:** Pretpostavimo da je cos⁡x2≥0. \cos \frac{x}{2} \ge 0 . Tada jednačina postaje:

2sin⁡x2cos⁡x2=cos⁡x22 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2}

Prebacujemo sve na levu stranu i izvlačimo zajednički faktor:

cos⁡x2(2sin⁡x2−1)=0\cos \frac{x}{2} \left(2 \sin \frac{x}{2} - 1\right) = 0

Ova jednačina je zadovoljena kada je jedan od činilaca jednak nuli:

cos⁡x2=0∨sin⁡x2=12\cos \frac{x}{2} = 0 \quad \lor \quad \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}

Rešavamo prvu jednačinu cos⁡x2=0. \cos \frac{x}{2} = 0 . Njena rešenja su x2=π2+2kπ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi i x2=−π2+2kπ, \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi , što se može objediniti kao x2=π2+kπ. \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi . Pošto je uslov cos⁡x2≥0 \cos \frac{x}{2} \ge 0 ispunjen (vrednost je tačno nula), dobijamo:

x2=π2+kπ  ⟹  x=π+2kπ,k∈Z\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu sin⁡x2=12. \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} . Razlažemo opšte rešenje na dva slučaja zavisno od parnosti, pa dobijamo x2=arcsin⁡(12)+2kπ=π6+2kπ \frac{x}{2} = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi i x2=−arcsin⁡(12)+π(2k+1)=5π6+2kπ. \frac{x}{2} = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi(2k+1) = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi . Proveravamo uslov cos⁡x2≥0: \cos \frac{x}{2} \ge 0 :

cos⁡(π6)=32≥0(prihvatamo)cos⁡(5π6)=−32<0(odbacujemo)\begin{aligned} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0 \quad \text{(prihvatamo)} \\ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) &= -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0 \quad \text{(odbacujemo)} \end{aligned}

Prihvatamo samo prvo rešenje i množimo sa 2 da bismo izrazili x: x :

x2=π6+2kπ  ⟹  x=π3+4kπ,k∈Z\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + 4k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

**Drugi slučaj:** Pretpostavimo da je cos⁡x2<0. \cos \frac{x}{2} < 0 . Tada jednačina postaje:

2sin⁡x2cos⁡x2=−cos⁡x22 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = -\cos \frac{x}{2}

Prebacujemo sve na levu stranu i izvlačimo zajednički faktor:

cos⁡x2(2sin⁡x2+1)=0\cos \frac{x}{2} \left(2 \sin \frac{x}{2} + 1\right) = 0

Kao i ranije, izjednačavamo činioce sa nulom:

cos⁡x2=0∨sin⁡x2=−12\cos \frac{x}{2} = 0 \quad \lor \quad \sin \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}

Rešenje cos⁡x2=0 \cos \frac{x}{2} = 0 odbacujemo jer je uslov stroga nejednakost cos⁡x2<0. \cos \frac{x}{2} < 0 . Rešavamo sin⁡x2=−12. \sin \frac{x}{2} = -\frac{1}{2} . Razlaganjem opšteg rešenja dobijamo x2=arcsin⁡(−12)+2kπ=−π6+2kπ \frac{x}{2} = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2k\pi = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi i x2=−arcsin⁡(−12)+π(2k+1)=7π6+2kπ. \frac{x}{2} = -\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi(2k+1) = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi . Proveravamo uslov cos⁡x2<0: \cos \frac{x}{2} < 0 :

cos⁡(−π6)=32>0(odbacujemo)cos⁡(7π6)=−32<0(prihvatamo)\begin{aligned} \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \quad \text{(odbacujemo)} \\ \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) &= -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0 \quad \text{(prihvatamo)} \end{aligned}

Prihvatamo samo drugo rešenje i množimo sa 2 da bismo izrazili x: x :

x2=7π6+2kπ  ⟹  x=7π3+4kπ,k∈Z\frac{x}{2} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{7\pi}{3} + 4k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje je unija svih prihvaćenih rešenja. Primetimo da se rešenja x=π3+4kπ x = \frac{\pi}{3} + 4k\pi i x=7π3+4kπ x = \frac{7\pi}{3} + 4k\pi mogu objediniti u jedan izraz x=π3+2kπ. x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi .

x∈{π+2kπ,π3+2kπ∣k∈Z}x \in \left\{ \pi + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbf{Z} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti