2831.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu:

tg(2x+1)ctg(x+1)=1\text{tg}(2x + 1) \text{ctg}(x + 1) = 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Funkcija tangens je definisana kada je kosinus različit od nule, a kotangens kada je sinus različit od nule:

{cos⁡(2x+1)≠0sin⁡(x+1)≠0\begin{cases} \cos(2x + 1) \neq 0 \\ \sin(x + 1) \neq 0 \end{cases}

Rešavamo ove uslove kako bismo znali koja rešenja moramo da odbacimo:

{x≠π4−12+kπ2x≠−1+mπ,k,m∈Z\begin{cases} x \neq \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{k\pi}{2} \\ x \neq -1 + m\pi \end{cases}, \quad k, m \in \mathbf{Z}

Zapisujemo funkcije tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa:

sin⁡(2x+1)cos⁡(2x+1)⋅cos⁡(x+1)sin⁡(x+1)=1\frac{\sin(2x + 1)}{\cos(2x + 1)} \cdot \frac{\cos(x + 1)}{\sin(x + 1)} = 1

Množenjem obe strane jednačine imeniocem (koji je različit od nule zbog uslova domena), dobijamo:

sin⁡(2x+1)cos⁡(x+1)=cos⁡(2x+1)sin⁡(x+1)\sin(2x + 1)\cos(x + 1) = \cos(2x + 1)\sin(x + 1)

Prebacujemo sve članove na levu stranu jednačine:

sin⁡(2x+1)cos⁡(x+1)−cos⁡(2x+1)sin⁡(x+1)=0\sin(2x + 1)\cos(x + 1) - \cos(2x + 1)\sin(x + 1) = 0

Prepoznajemo adicionu formulu za sinus razlike uglova sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β: \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta :

sin⁡((2x+1)−(x+1))=0\sin((2x + 1) - (x + 1)) = 0

Sređivanjem izraza unutar sinusa dobijamo jednostavnu trigonometrijsku jednačinu:

sin⁡x=0\sin x = 0

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

x=nπ,n∈Zx = n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada domenu. Zamenom x=nπ x = n\pi u uslove domena dobijamo:

{nπ≠π4−12+kπ2nπ≠−1+mπ\begin{cases} n\pi \neq \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{k\pi}{2} \\ n\pi \neq -1 + m\pi \end{cases}

Ovi uslovi se mogu zapisati kao π(n−k2−14)≠−12 \pi(n - \frac{k}{2} - \frac{1}{4}) \neq -\frac{1}{2} i π(n−m)≠−1. \pi(n - m) \neq -1 . S obzirom da je π \pi iracionalan broj, a desne strane su racionalni brojevi, ove nejednakosti su uvek tačne za sve cele brojeve n,k,m. n, k, m .

Sva dobijena rešenja su validna. Konačno rešenje jednačine je:

x=nπ,n∈Zx = n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti