2833. Trigonometrijske jednačine

Uvodimo smenu $t = 2^x .$ Jednačina postaje:

\sin t = -\frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Opšte rešenje se može zapisati kao unija dva skupa rešenja:

t = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad t = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Vraćamo smenu $t = 2^x :$

2^x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad 2^x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi

Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna ( $2^x > 0$ ), moramo postaviti uslove za celobrojni parametar $k .$ Za prvu grupu rešenja važi:

-\frac{\pi}{6} + 2k\pi > 0 \implies 2k\pi > \frac{\pi}{6} \implies k > \frac{1}{12}

Pošto je $k$ ceo broj, iz prethodnog uslova sledi:

k \ge 1, \quad k \in \mathbf{Z}

Za drugu grupu rešenja važi uslov:

\frac{7\pi}{6} + 2k\pi > 0 \implies 2k\pi > -\frac{7\pi}{6} \implies k > -\frac{7}{12}

Pošto je $k$ ceo broj, iz ovog uslova sledi:

k \ge 0, \quad k \in \mathbf{Z}

Sada logaritmujemo obe jednačine za osnovu 2 kako bismo izrazili $x .$ Za prvu grupu rešenja dobijamo:

x = \log_2 \left(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbf{Z}, k \ge 1

Za drugu grupu rešenja dobijamo:

x = \log_2 \left(\frac{7\pi}{6} + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbf{Z}, k \ge 0

Konačno rešenje jednačine čine obe grupe rešenja uz odgovarajuće uslove za celobrojne parametre:

x = \log_2 \left(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right), \; k \ge 1 \quad \lor \quad x = \log_2 \left(\frac{7\pi}{6} + 2m\pi\right), \; m \ge 0 \quad (k, m \in \mathbf{Z})

2833.Trigonometrijske jednačine