2835.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

cos⁡x2=12\cos x^2 = \frac{1}{2}
REŠENJE ZADATKA

Koristimo opšte rešenje za trigonometrijsku jednačinu oblika cos⁡t=a: \cos t = a :

t=±arccos⁡a+2kπ,k∈Zt = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Primenjujemo formulu na našu jednačinu, gde je t=x2 t = x^2 i a=12: a = \frac{1}{2} :

x2=±arccos⁡12+2kπ,k∈Zx^2 = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Znamo da je vrednost arkus kosinusa od 12 \frac{1}{2} jednaka π3: \frac{\pi}{3} :

arccos⁡12=π3\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}

Zamenjujemo ovu vrednost nazad u jednačinu:

x2=±π3+2kπ,k∈Zx^2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Pošto kvadrat realnog broja mora biti nenegativan (x2≥0 x^2 \ge 0 ), izraz na desnoj strani takođe mora biti veći ili jednak nuli. Rešavamo po x x korenovanjem obe strane:

x=±±π3+2kπx = \pm \sqrt{\pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi}

Određujemo uslove za ceo broj k k kako bi potkorena veličina bila nenegativna. Za slučaj sa znakom plus (+π3 +\frac{\pi}{3} ) imamo:

π3+2kπ≥0  ⟹  2kπ≥−π3  ⟹  k≥−16\frac{\pi}{3} + 2k\pi \ge 0 \implies 2k\pi \ge -\frac{\pi}{3} \implies k \ge -\frac{1}{6}

Pošto k k mora biti ceo broj (k∈Z k \in \mathbf{Z} ), najmanji ceo broj koji zadovoljava ovaj uslov je 0: 0 :

k≥0,k∈Zk \ge 0, \quad k \in \mathbf{Z}

Za slučaj sa znakom minus (−π3 -\frac{\pi}{3} ) imamo:

−π3+2kπ≥0  ⟹  2kπ≥π3  ⟹  k≥16-\frac{\pi}{3} + 2k\pi \ge 0 \implies 2k\pi \ge \frac{\pi}{3} \implies k \ge \frac{1}{6}

Pošto k k mora biti ceo broj, najmanji ceo broj koji zadovoljava ovaj uslov je 1: 1 :

k≥1,k∈Zk \ge 1, \quad k \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje zapisujemo razdvajanjem na dva skupa rešenja sa odgovarajućim uslovima za celobrojne parametre:

x=±π3+2kπ,  k≥0∨x=±−π3+2mπ,  m≥1(k,m∈Z)x = \pm \sqrt{\frac{\pi}{3} + 2k\pi}, \; k \ge 0 \quad \lor \quad x = \pm \sqrt{-\frac{\pi}{3} + 2m\pi}, \; m \ge 1 \quad (k, m \in \mathbf{Z})

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti