2837.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Da li jednačina sin⁡x=lg⁡sin⁡x \sin x = \lg \sin x ima rešenja?

REŠENJE ZADATKA

Da bi logaritamska funkcija bila definisana, njen argument mora biti strogo pozitivan. Zato mora važiti:

sin⁡x>0\sin x > 0

Pored toga, poznato je da je kodomen sinusne funkcije interval [−1,1]: [-1, 1] :

−1≤sin⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1

Presekom ova dva uslova dobijamo da vrednost sin⁡x \sin x mora biti u intervalu:

sin⁡x∈(0,1]\sin x \in (0, 1]

Uvedimo smenu t=sin⁡x, t = \sin x , pri čemu je t∈(0,1]. t \in (0, 1] . Polazna jednačina se svodi na:

t=lg⁡tt = \lg t

Posmatrajmo levu stranu dobijene jednačine. S obzirom na domen za t, t , važi:

t>0t > 0

Sada posmatrajmo desnu stranu jednačine. Za vrednosti t∈(0,1], t \in (0, 1] , logaritam je uvek manji ili jednak nuli (jer je lg⁡1=0, \lg 1 = 0 , a za t<1 t < 1 je lg⁡t<0 \lg t < 0 ):

lg⁡t≤0\lg t \le 0

Pošto je leva strana jednačine uvek pozitivna (t>0 t > 0 ), a desna strana nepozitivna (lg⁡t≤0 \lg t \le 0 ), one nikada ne mogu biti jednake. Zbog toga jednačina t=lg⁡t t = \lg t nema rešenja.

Zaključujemo da ni polazna jednačina sin⁡x=lg⁡sin⁡x \sin x = \lg \sin x nema rešenja.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti