Podeli

2876.
Trigonometrijske jednačine

REŠENJE ZADATKA

Koristimo trigonometrijsku formulu za razliku sinusa: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} .$

Primenjujemo formulu na levu stranu jednačine, gde je $\alpha = \frac{\pi}{3} + x$ i $\beta = x .$

2 \sin \left( \frac{\frac{\pi}{3} + x - x}{2} \right) \cos \left( \frac{\frac{\pi}{3} + x + x}{2} \right) = \frac{1}{2}

Sređujemo izraze unutar zagrada.

2 \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} + x \right) = \frac{1}{2}

Zamenjujemo poznatu vrednost za sinus: $\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} .$

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} + x \right) = \frac{1}{2}

Množenjem dobijamo uprošćenu jednačinu.

\cos \left( \frac{\pi}{6} + x \right) = \frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Kosinus je jednak $\frac{1}{2}$ za uglove $\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ i $-\frac{\pi}{3} + 2k\pi .$

\frac{\pi}{6} + x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Razdvajamo rešenje na dva slučaja. Prvi slučaj:

\frac{\pi}{6} + x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi

Izražavamo $x$ za prvi slučaj.

x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Drugi slučaj:

\frac{\pi}{6} + x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi

Izražavamo $x$ za drugi slučaj.

x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija ova dva skupa rešenja.

x \in \left\{ \frac{\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

2876.Trigonometrijske jednačine