2884.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

cos⁡xcos⁡3x=cos⁡5xcos⁡7x\cos x \cos 3x = \cos 5x \cos 7x
REŠENJE ZADATKA

Koristimo trigonometrijsku formulu za pretvaranje proizvoda u zbir: cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)]. \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] .

12[cos⁡(x−3x)+cos⁡(x+3x)]=12[cos⁡(5x−7x)+cos⁡(5x+7x)]\frac{1}{2} [\cos(x - 3x) + \cos(x + 3x)] = \frac{1}{2} [\cos(5x - 7x) + \cos(5x + 7x)]

Sređujemo izraze unutar kosinusa. Pošto je kosinus parna funkcija, važi cos⁡(−α)=cos⁡α. \cos(-\alpha) = \cos \alpha .

12[cos⁡(−2x)+cos⁡(4x)]=12[cos⁡(−2x)+cos⁡(12x)]12[cos⁡2x+cos⁡4x]=12[cos⁡2x+cos⁡12x]\frac{1}{2} [\cos(-2x) + \cos(4x)] = \frac{1}{2} [\cos(-2x) + \cos(12x)] \\ \frac{1}{2} [\cos 2x + \cos 4x] = \frac{1}{2} [\cos 2x + \cos 12x]

Množimo celu jednačinu sa 2.

cos⁡2x+cos⁡4x=cos⁡2x+cos⁡12x\cos 2x + \cos 4x = \cos 2x + \cos 12x

Oduzimamo cos⁡2x \cos 2x sa obe strane jednačine.

cos⁡4x=cos⁡12x\cos 4x = \cos 12x

Prebacujemo sve članove na jednu stranu.

cos⁡12x−cos⁡4x=0\cos 12x - \cos 4x = 0

Koristimo formulu za razliku kosinusa: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2. \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} .

−2sin⁡12x+4x2sin⁡12x−4x2=0-2 \sin \frac{12x + 4x}{2} \sin \frac{12x - 4x}{2} = 0

Pojednostavljujemo argumente sinusa.

−2sin⁡8xsin⁡4x=0-2 \sin 8x \sin 4x = 0

Delimo jednačinu sa -2.

sin⁡8xsin⁡4x=0\sin 8x \sin 4x = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli.

sin⁡8x=0∨sin⁡4x=0\sin 8x = 0 \quad \lor \quad \sin 4x = 0

Rešavamo prvu jednačinu sin⁡8x=0. \sin 8x = 0 .

8x=kπ  ⟹  x=kπ8,k∈Z8x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{8}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu sin⁡4x=0. \sin 4x = 0 .

4x=mπ  ⟹  x=mπ4,m∈Z4x = m\pi \implies x = \frac{m\pi}{4}, \quad m \in \mathbb{Z}

Primećujemo da su rešenja druge jednačine podskup rešenja prve jednačine (za parno k=2m k = 2m ). Zato je konačno rešenje unija ova dva skupa, što se svodi na rešenje prve jednačine:

x=kπ8,k∈Zx = \frac{k\pi}{8}, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti