2887. Trigonometrijske jednačine

Koristimo trigonometrijski identitet za dvostruki ugao: $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x .$ Zamenjujemo ovo u polaznu jednačinu.

\cos 4x + 1 + \cos 2x = 1

Sređujemo jednačinu tako što poništimo jedinice sa obe strane.

\cos 4x + \cos 2x = 0

Primenjujemo formulu za transformaciju zbira kosinusa u proizvod: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} .$

2 \cos \left( \frac{4x+2x}{2} \right) \cos \left( \frac{4x-2x}{2} \right) = 0

Računamo argumente kosinusa i delimo jednačinu sa 2.

\cos 3x \cos x = 0

Proizvod je jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli.

\cos 3x = 0 \quad \lor \quad \cos x = 0

Rešavamo prvu jednačinu $\cos 3x = 0 .$

3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu $\cos x = 0 .$

x = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Primetimo da su rešenja druge jednačine obuhvaćena rešenjima prve jednačine. Naime, za $k = 3m + 1$ dobijamo $x = \frac{\pi}{6} + \frac{(3m+1)\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + m\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + m\pi .$ Zato je konačno rešenje jednačine:

x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online grupni časovi

2887.
Trigonometrijske jednačine

2887.Trigonometrijske jednačine

2887.
Trigonometrijske jednačine