2928.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu: sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x>0. \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x > 0 .

REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu t=sin⁡x. t = \sin x . Pošto je funkcija sinus ograničena, važi t∈[−1,1]. t \in [-1, 1] . Nejednačina postaje:

t+t2+t3>0t + t^2 + t^3 > 0

Izvlačimo zajednički činilac t t ispred zagrade:

t(1+t+t2)>0t(1 + t + t^2) > 0

Analiziramo kvadratni trinom 1+t+t2. 1 + t + t^2 . Računamo njegovu diskriminantu:

D=12−4⋅1⋅1=−3D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3

Pošto je diskriminanta manja od nule (D<0 D < 0 ) i koeficijent uz t2 t^2 je pozitivan (a=1>0 a = 1 > 0 ), kvadratni trinom je uvek pozitivan za svako realno t: t :

1+t+t2>0,∀t∈R1 + t + t^2 > 0, \quad \forall t \in \mathbb{R}

Kako je izraz u zagradi uvek pozitivan, znak celog proizvoda zavisi samo od t. t . Da bi proizvod bio veći od nule, mora važiti:

t>0t > 0

Vraćamo smenu t=sin⁡x: t = \sin x :

sin⁡x>0\sin x > 0

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku nejednačinu. Funkcija sinus je pozitivna u prvom i drugom kvadrantu, pa je konačno rešenje:

x∈(2kπ,π+2kπ),k∈Zx \in (2k\pi, \pi + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti