2940.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: 2cos⁡2x−3cos⁡x+1>0; 2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 > 0;

REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu t=cos⁡x. t = \cos x . Nejednačina postaje:

2t2−3t+1>02t^2 - 3t + 1 > 0

Faktorišemo kvadratni trinom. Prvo nalazimo njegove nule rešavanjem jednačine 2t2−3t+1=0: 2t^2 - 3t + 1 = 0 :

t1,2=−(−3)±(−3)2−4⋅2⋅12⋅2=3±14t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}

Nule su t1=1 t_1 = 1 i t2=12. t_2 = \frac{1}{2} . Nejednačinu možemo zapisati u faktorisanom obliku:

2(t−12)(t−1)>02\left(t - \frac{1}{2}\right)(t - 1) > 0
t∈(−∞,12)t \in (-\infty, \frac{1}{2})
t∈(12,1)t \in (\frac{1}{2}, 1)
t∈(1,+∞)t \in (1, +\infty)
t−12t - \frac{1}{2}
++
++
++
t−1t - 1
++
++
++
2(t−12)(t−1)2(t - \frac{1}{2})(t - 1)
++
++
++

Na osnovu tabele znakova, izraz je strogo pozitivan kada je:

t<12∨t>1t < \frac{1}{2} \quad \lor \quad t > 1

Vraćamo smenu t=cos⁡x t = \cos x i dobijamo dve trigonometrijske nejednačine:

cos⁡x<12∨cos⁡x>1\cos x < \frac{1}{2} \quad \lor \quad \cos x > 1

Analiziramo drugu nejednačinu. Kako je kodomen kosinusne funkcije interval [−1,1], [-1, 1] , nejednačina cos⁡x>1 \cos x > 1 nema realnih rešenja.

cos⁡x>1  ⟹  x∈∅\cos x > 1 \implies x \in \emptyset

Rešavamo prvu nejednačinu. Na trigonometrijskoj kružnici, prava X=12 X = \frac{1}{2} seče kružnicu u tačkama koje odgovaraju uglovima π3 \frac{\pi}{3} i 5π3. \frac{5\pi}{3} .

cos⁡x<12\cos x < \frac{1}{2}

Kosinus je manji od 12 \frac{1}{2} za uglove koji se nalaze na levom luku kružnice između ovih vrednosti. Dodavanjem perioda 2π 2\pi dobijamo konačno rešenje:

x∈(π3+2kπ,5π3+2kπ),k∈Zx \in \left( \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti