851.

lim⁡x→0(1sin⁡x−ctg⁡x)\lim_{{x} \to {0}}\big(\frac1{\sin x}-\ctg x\big)

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

lim⁡x→0(1sin⁡x−ctg⁡x)\lim_{{x} \to {0}}\bigg(\frac1{\sin x}-\ctg x\bigg)
REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\ctg{x}=\frac {\cos{x}} {\sin{x}}

lim⁡x→0(1sin⁡x−cos⁡xsin⁡x)lim⁡x→01−cos⁡xsin⁡x\lim_{{x} \to {0}}\bigg(\frac1{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\bigg) \\ \lim_{{x} \to {0}}\frac{1-\cos x}{\sin x}

Primeniti formulu za sinus poluugla: sin⁡2α2=1−cos⁡α2\sin^2{\frac {\alpha} 2}=\frac {1-\cos{\alpha}} 2

lim⁡x→02sin⁡2x2sin⁡(2⋅x2)\lim_{{x} \to {0}}\frac{2\sin^2\frac x2}{\sin \big(2\cdot\frac x2\big)}

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

lim⁡x→02sin⁡2x22sin⁡x2cos⁡x2lim⁡x→0sin⁡x2cos⁡x2\lim_{{x} \to {0}}\frac{2\sin^2\frac x2}{2\sin\frac x2\cos\frac x2} \\ \lim_{{x} \to {0}}\frac{\sin\frac x2}{\cos\frac x2}

Zameniti x=0x=0 i uvrstiti vrednost trigonometrijskih funkcija.

sin⁡0cos⁡0010\frac{\sin0}{\cos0} \\ \frac 01 \\ 0