PrethodniSledeći
4678.

441

TEKST ZADATKA

U jednakokrakom △ABC \triangle ABC (AC=BC AC = BC ) ugao kod temena C C je 108∘. 108^\circ . Dokazati da je dužina visine CD CD jednaka polovini dužine simetrale AE AE unutrašnjeg ugla A. A .

REŠENJE ZADATKA

Pošto je AC=BC, AC=BC , uglovi na osnovici AB AB su jednaki. Njihov zbir je 180∘−108∘=72∘, 180^\circ-108^\circ=72^\circ , pa svaki iznosi 36∘. 36^\circ . Simetrala AE AE deli ugao A A na dva ugla od 18∘. 18^\circ .

∠CAB=∠ABC=36∘,∠CAE=∠EAB=18∘\angle CAB=\angle ABC=36^\circ,\qquad \angle CAE=\angle EAB=18^\circ

Tačka E E pripada stranici BC. BC . Zato je u trouglu ACE ACE ugao kod C C jednak 108∘, 108^\circ , a ugao kod A A jednak 18∘. 18^\circ . Preostali ugao je:

∠AEC=180∘−108∘−18∘=54∘\angle AEC=180^\circ-108^\circ-18^\circ=54^\circ

Preslikajmo tačku C C osnom simetrijom u odnosu na pravu AB AB i označimo njenu sliku sa C′. C' . Pošto je CD⊥AB, CD\perp AB , tačka D D je središte duži CC′. CC' . Otuda je CC′=2CD. CC'=2CD . Takođe, simetrijom dobijamo AC′=AC AC'=AC i ∠C′AB=∠CAB=36∘. \angle C'AB=\angle CAB=36^\circ .

CC′=2CD,AC′=AC,∠CAC′=36∘+36∘=72∘CC'=2CD,\qquad AC'=AC,\qquad \angle CAC'=36^\circ+36^\circ=72^\circ

Trougao ACC′ ACC' je jednakokrak jer je AC=AC′. AC=AC' . Njegov ugao kod A A iznosi 72∘, 72^\circ , pa su jednaki uglovi na osnovici CC′: CC' :

∠AC′C=∠ACC′=180∘−72∘2=54∘\angle AC'C=\angle ACC'=\frac{180^\circ-72^\circ}{2}=54^\circ

Dobili smo ∠AEC=∠AC′C=54∘. \angle AEC=\angle AC'C=54^\circ . Ova dva jednaka ugla oslanjaju se na istu duž AC, AC , pa tačke A,E,C,C′ A,E,C,C' pripadaju istom krugu.

∠AEC=∠AC′C⟹A,E,C,C′ su konciklicˇne\angle AEC=\angle AC'C\quad\Longrightarrow\quad A,E,C,C'\text{ su konciklične}

U tom krugu su uglovi ∠ACE \angle ACE i ∠AC′E \angle AC'E naspramni uglovi tetivnog četvorougla, pa im je zbir 180∘. 180^\circ . Kako je ∠ACE=108∘, \angle ACE=108^\circ , sledi ∠AC′E=72∘. \angle AC'E=72^\circ . Već je dokazano i ∠CAC′=72∘. \angle CAC'=72^\circ .

∠AC′E=180∘−108∘=72∘=∠CAC′\angle AC'E=180^\circ-108^\circ=72^\circ=\angle CAC'

Jednaki periferijski uglovi istog kruga oslanjaju se na jednake tetive. Ugao ∠AC′E \angle AC'E oslanja se na tetivu AE, AE , a ugao ∠CAC′ \angle CAC' na tetivu CC′. CC' . Zato je AE=CC′. AE=CC' . Po konstrukciji je CC′=2CD, CC'=2CD , pa konačno dobijamo traženo tvrđenje.

AE=CC′=2CD⟹CD=AE2AE=CC'=2CD\quad\Longrightarrow\quad \boxed{CD=\frac{AE}{2}}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak