3362.

170

TEKST ZADATKA

Dokazati da je broj 944+499 9^{44} + 4^{99} deljiv sa 5.

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali deljivost sa 5, pokazujemo da se dati izraz može zapisati u obliku 5q, 5q , gde je q q ceo broj. Koristimo osobine ostatka pri deljenju.

Zapisujemo osnove stepena, brojeve 9 i 4, preko umnožaka broja 5:

9=10−1=5⋅2−14=5⋅1−19 = 10 - 1 = 5 \cdot 2 - 1 \\ 4 = 5 \cdot 1 - 1

Znamo da ostatak proizvoda pri deljenju nekim brojem zavisi samo od proizvoda ostataka činilaca. Zato ostatak stepena oblika (5k−1)n (5k - 1)^n pri deljenju sa 5 zavisi samo od člana (−1)n. (-1)^n .

Primenjujemo ovo pravilo na prvi sabirak, 944. 9^{44} . Njegov ostatak pri deljenju sa 5 jednak je vrednosti (−1)44. (-1)^{44} .

(−1)44=1(-1)^{44} = 1

Pošto je ostatak 1, broj 944 9^{44} možemo zapisati u obliku:

944=5a+19^{44} = 5a + 1

Primenjujemo isto pravilo na drugi sabirak, 499. 4^{99} . Njegov ostatak pri deljenju sa 5 jednak je vrednosti (−1)99. (-1)^{99} .

(−1)99=−1(-1)^{99} = -1

Pošto je ostatak -1, broj 499 4^{99} možemo zapisati u obliku:

499=5b−14^{99} = 5b - 1

Sabiramo dobijene izraze za 944 9^{44} i 499: 4^{99} :

944+499=(5a+1)+(5b−1)9^{44} + 4^{99} = (5a + 1) + (5b - 1)

Oslobađamo se zagrada i uprošćavamo izraz:

944+499=5a+1+5b−1=5a+5b9^{44} + 4^{99} = 5a + 1 + 5b - 1 = 5a + 5b

Izdvajamo zajednički činilac 5 ispred zagrade:

944+499=5(a+b)9^{44} + 4^{99} = 5(a + b)

Uvodimo smenu q=a+b. q = a + b . Pošto su a a i b b celi brojevi, i njihov zbir q q je takođe ceo broj. Zamenom dobijamo:

944+499=5q9^{44} + 4^{99} = 5q

Pošto smo dati izraz zapisali u obliku 5q, 5q , na osnovu definicije deljivosti zaključujemo da je broj deljiv sa 5, čime je dokaz završen.