3363.

168.a

TEKST ZADATKA

Dokazati da je broj m5−m m^5 - m deljiv sa: 5; za svaki ceo broj m. m .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati dati izraz izvlačenjem zajedničkog činioca m m ispred zagrade.

m5−m=m(m4−1)m^5 - m = m(m^4 - 1)

Zatim primenjujemo formulu za razliku kvadrata na izraz u zagradi.

m(m4−1)=m(m2−1)(m2+1)m(m^4 - 1) = m(m^2 - 1)(m^2 + 1)

Još jednom primenjujemo razliku kvadrata na izraz m2−1 m^2 - 1 i dobijamo konačnu faktorizaciju.

m(m2−1)(m2+1)=(m−1)m(m+1)(m2+1)m(m^2 - 1)(m^2 + 1) = (m - 1)m(m + 1)(m^2 + 1)

Prema teoremi o deljenju sa ostatkom, svaki ceo broj m m se pri deljenju sa 5 može zapisati u obliku m=5q+r, m = 5q + r , gde je q q količnik, a r∈{0,1,2,3,4} r \in \{0, 1, 2, 3, 4\} ostatak. Analiziraćemo sve moguće slučajeve za ostatak r. r .

Slučaj 1: Ako je r=0, r = 0 , tada je m=5q. m = 5q . U ovom slučaju, sam činilac m m je deljiv sa 5, pa je i ceo proizvod deljiv sa 5.

m=5q  ⟹  5∣mm = 5q \implies 5 \mid m

Slučaj 2: Ako je r=1, r = 1 , tada je m=5q+1. m = 5q + 1 . Posmatramo činilac m−1. m - 1 .

m−1=(5q+1)−1=5q  ⟹  5∣(m−1)m - 1 = (5q + 1) - 1 = 5q \implies 5 \mid (m - 1)

Slučaj 3: Ako je r=4, r = 4 , tada je m=5q+4. m = 5q + 4 . Posmatramo činilac m+1. m + 1 .

m+1=(5q+4)+1=5q+5=5(q+1)  ⟹  5∣(m+1)m + 1 = (5q + 4) + 1 = 5q + 5 = 5(q + 1) \implies 5 \mid (m + 1)

Slučaj 4: Ako je r=2, r = 2 , tada je m=5q+2. m = 5q + 2 . Zamenićemo ovo u činilac m2+1. m^2 + 1 .

m2+1=(5q+2)2+1=25q2+20q+4+1m^2 + 1 = (5q + 2)^2 + 1 = 25q^2 + 20q + 4 + 1

Sređivanjem izraza dobijamo da je i on deljiv sa 5.

25q2+20q+5=5(5q2+4q+1)  ⟹  5∣(m2+1)25q^2 + 20q + 5 = 5(5q^2 + 4q + 1) \implies 5 \mid (m^2 + 1)

Slučaj 5: Ako je r=3, r = 3 , tada je m=5q+3. m = 5q + 3 . Ponovo proveravamo činilac m2+1. m^2 + 1 .

m2+1=(5q+3)2+1=25q2+30q+9+1m^2 + 1 = (5q + 3)^2 + 1 = 25q^2 + 30q + 9 + 1

Sređivanjem dobijamo izraz koji je takođe deljiv sa 5.

25q2+30q+10=5(5q2+6q+2)  ⟹  5∣(m2+1)25q^2 + 30q + 10 = 5(5q^2 + 6q + 2) \implies 5 \mid (m^2 + 1)

Pošto je u svakom od 5 mogućih slučajeva bar jedan od činilaca proizvoda (m−1)m(m+1)(m2+1) (m - 1)m(m + 1)(m^2 + 1) deljiv sa 5, zaključujemo da je izraz uvek deljiv sa 5 za svaki ceo broj m. m .

5∣(m5−m)5 \mid (m^5 - m)