3367.

168.b

TEKST ZADATKA

Dokazati da je broj m5−m m^5 - m deljiv sa: 30 za svaki ceo broj m. m .

REŠENJE ZADATKA

Faktorišemo dati izraz izdvajanjem zajedničkog činioca i primenom razlike kvadrata:

m5−m=m(m4−1)=m(m2−1)(m2+1)=(m−1)m(m+1)(m2+1)m^5 - m = m(m^4 - 1) = m(m^2 - 1)(m^2 + 1) = (m-1)m(m+1)(m^2+1)

Da bi broj bio deljiv sa 30, mora biti deljiv sa 2, 3 i 5, jer su to uzajamno prosti činioci broja 30 (30=2⋅3⋅5 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 ).

Izraz sadrži proizvod tri uzastopna cela broja (m−1)m(m+1). (m-1)m(m+1) . Proizvod tri uzastopna cela broja je uvek deljiv sa 2 (jer je bar jedan paran) i sa 3 (jer je tačno jedan deljiv sa 3).

Pošto je proizvod deljiv i sa 2 i sa 3, a 2 i 3 su uzajamno prosti, on je deljiv i sa njihovim proizvodom, odnosno sa 6.

6∣(m−1)m(m+1)6 \mid (m-1)m(m+1)

Da bismo dokazali deljivost sa 5, možemo transformisati izraz m2+1 m^2+1 tako da dobijemo proizvod pet uzastopnih brojeva. Zapisujemo m2+1 m^2+1 kao (m2−4)+5: (m^2-4) + 5 :

m2+1=m2−4+5=(m−2)(m+2)+5m^2 + 1 = m^2 - 4 + 5 = (m-2)(m+2) + 5

Zamenjujemo ovo u početni faktorisani izraz:

(m−1)m(m+1)(m2+1)=(m−1)m(m+1)((m−2)(m+2)+5)(m-1)m(m+1)(m^2+1) = (m-1)m(m+1)((m-2)(m+2) + 5)

Množenjem dobijamo zbir dva sabirka:

(m−1)m(m+1)(m−2)(m+2)+5(m−1)m(m+1)=(m−2)(m−1)m(m+1)(m+2)+5(m−1)m(m+1)(m-1)m(m+1)(m-2)(m+2) + 5(m-1)m(m+1) = (m-2)(m-1)m(m+1)(m+2) + 5(m-1)m(m+1)

Prvi sabirak (m−2)(m−1)m(m+1)(m+2) (m-2)(m-1)m(m+1)(m+2) predstavlja proizvod pet uzastopnih celih brojeva, pa je sigurno deljiv sa 5.

Drugi sabirak 5(m−1)m(m+1) 5(m-1)m(m+1) očigledno sadrži faktor 5, pa je i on deljiv sa 5.

Kako su oba sabirka deljiva sa 5, i njihov zbir je deljiv sa 5. Dakle, ceo izraz je deljiv sa 5.

5∣(m5−m)5 \mid (m^5 - m)

Pošto je izraz deljiv sa 2, 3 i 5, a ovi brojevi su po parovima uzajamno prosti, izraz je deljiv i sa njihovim proizvodom, odnosno sa 30.

30∣(m5−m)30 \mid (m^5 - m)