3370. Deljivost celih brojeva

TEKST ZADATKA

Pri deljenju brojeva 287 i 431 prirodnim brojem $n$ dobijaju se redom ostaci 1 i 2, a pri deljenju broja 231 brojem $n + 1$ dobija se ostatak 3. Odrediti sve takve brojeve $n .$

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu uslova zadatka, kada broj 287 podelimo sa $n$ dobijamo ostatak 1, a kada 431 podelimo sa $n$ dobijamo ostatak 2. To znači da $n$ deli brojeve $287 - 1$ i $431 - 2 .$ Takođe, pošto su ostaci 1 i 2, delilac $n$ mora biti strogo veći od najvećeg ostatka, odnosno $n > 2 .$

n \mid 286 \quad \text{i} \quad n \mid 429

Da bismo našli sve moguće vrednosti za $n ,$ tražimo zajedničke delioce brojeva 286 i 429. Prvo ćemo naći njihov najveći zajednički delilac (NZD) tako što ćemo ih rastaviti na proste činioce.

\begin{aligned} 286 &= 2 \cdot 11 \cdot 13 \\ 429 &= 3 \cdot 11 \cdot 13 \end{aligned}

Najveći zajednički delilac je proizvod zajedničkih prostih činilaca.

NZD(286, 429) = 11 \cdot 13 = 143

Broj $n$ mora biti delilac broja 143. Delioci broja 143 su 1, 11, 13 i 143. Kako smo već utvrdili da mora važiti $n > 2 ,$ moguće vrednosti za $n$ su 11, 13 i 143.

n \in \{11, 13, 143\}

Treći uslov zadatka kaže da pri deljenju broja 231 brojem $n + 1$ dobijamo ostatak 3. To znači da $n + 1$ deli broj $231 - 3 ,$ a takođe mora važiti da je delilac veći od ostatka, odnosno $n + 1 > 3$ (što je već ispunjeno jer je $n > 2$ ).

(n + 1) \mid 228

Sada proveravamo koja od mogućih vrednosti za $n$ (11, 13 ili 143) ispunjava uslov da $n + 1$ deli 228.

\begin{aligned} n = 11 &\implies n + 1 = 12, \quad 228 : 12 = 19 \quad (\text{tačno}) \\ n = 13 &\implies n + 1 = 14, \quad 228 : 14 = 16 \text{ i ostatak } 4 \quad (\text{netačno}) \\ n = 143 &\implies n + 1 = 144, \quad 228 : 144 = 1 \text{ i ostatak } 84 \quad (\text{netačno}) \end{aligned}

Jedini broj koji ispunjava sve uslove zadatka je $n = 11 .$

n = 11

174