3381.

169.b

TEKST ZADATKA

Odrediti poslednju cifru broja: 376543 376^{543} ;

REŠENJE ZADATKA

Poslednja cifra stepena nekog broja zavisi isključivo od poslednje cifre osnove tog stepena. Osnova našeg stepena je broj 376, 376 , čija je poslednja cifra 6. 6 .

Posmatrajmo kako se ponašaju poslednje cifre kada stepenujemo broj 6. 6 . Računamo prvih nekoliko stepena:

61=662=3663=216\begin{aligned} 6^1 &= 6 \\ 6^2 &= 36 \\ 6^3 &= 216 \end{aligned}

Primećujemo da se svaki stepen broja 6 6 završava cifrom 6. 6 . Ovo važi za svaki prirodan broj n, n , jer množenjem broja koji se završava na 6 6 sa 6 6 uvek dobijamo broj koji se ponovo završava na 6 6 (pošto je 6⋅6=36 6 \cdot 6 = 36 ).

6n≡6(mod10)6^n \equiv 6 \pmod{10}

Pošto se osnova 376 376 završava cifrom 6, 6 , svaki njen prirodni stepen će se takođe završavati cifrom 6. 6 .

376543≡6543≡6(mod10)376^{543} \equiv 6^{543} \equiv 6 \pmod{10}

Zaključujemo da je poslednja cifra traženog broja jednaka 6. 6 .