2077. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Zbog prisustva parnih korena i činjenice da su $x$ i $y$ osnove stepena, mora važiti $x > 0$ i $y > 0 .$

x > 0, \quad y > 0

Uvodimo smenu $A = \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} .$ Sistem tada postaje:

\begin{cases} x^A = y^{8/3} \\ y^A = x^{2/3} \end{cases}

Iz druge jednačine možemo izraziti $x$ preko $y .$ Stepenovanjem obe strane sa $3/2$ dobijamo:

x = y^{\frac{3A}{2}}

Zamenjujemo dobijeni izraz za $x$ u prvu jednačinu:

\left(y^{\frac{3A}{2}}\right)^A = y^{8/3} \implies y^{\frac{3A^2}{2}} = y^{8/3}

Razlikujemo dva slučaja za osnovu $y :$ $y = 1$ i $y \neq 1 .$

y = 1 \quad \lor \quad y \neq 1

Prvi slučaj: Ako je $y = 1 ,$ tada iz $x = y^{\frac{3A}{2}}$ sledi $x = 1 .$ Proverom u početnom sistemu dobijamo $1^2 = 1^{8/3}$ i $1^2 = 1^{2/3} ,$ što je tačno. Dakle, jedno rešenje je $(1, 1) .$

(x, y) = (1, 1)

Drugi slučaj: Ako je $y \neq 1 ,$ možemo izjednačiti izložioce:

\frac{3A^2}{2} = \frac{8}{3}

Rešavamo jednačinu po $A .$ Kako je $A = \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} > 0 ,$ uzimamo samo pozitivno rešenje:

9A^2 = 16 \implies A^2 = \frac{16}{9} \implies A = \frac{4}{3}

Vraćamo vrednost $A$ u vezu između $x$ i $y :$

x = y^{\frac{3 \cdot \frac{4}{3}}{2}} = y^2

Zamenjujemo $x = y^2$ i $A = \frac{4}{3}$ u početnu smenu $A = \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} :$

\sqrt[4]{y^2} + \sqrt{y} = \frac{4}{3}

Kako je $y > 0 ,$ važi $\sqrt[4]{y^2} = \sqrt{y} .$ Jednačina postaje:

\sqrt{y} + \sqrt{y} = \frac{4}{3} \implies 2\sqrt{y} = \frac{4}{3} \implies \sqrt{y} = \frac{2}{3}

Kvadriranjem dobijamo vrednost za $y :$

y = \frac{4}{9}

Računamo vrednost za $x$ koristeći $x = y^2 :$

x = \left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81}

Konačna rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) .$

(x, y) \in \left\{ (1, 1), \left(\frac{16}{81}, \frac{4}{9}\right) \right\}

Započni učenje

Online grupni časovi

2077.
Eksponencijalne jednačine i nejednačine

2077.Eksponencijalne jednačine i nejednačine

2077.
Eksponencijalne jednačine i nejednačine