2078. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Zapišimo brojeve 243 i 1024 kao stepene prostih brojeva. Znamo da je $243 = 3^5$ i $1024 = 2^{10} .$

\begin{cases} x^y = 3^5 \\ \sqrt[y]{2^{10}} = \left(\frac{2}{3}x\right)^2 \end{cases}

Izrazimo koren kao stepen sa racionalnim izložiocem i kvadrirajmo izraz na desnoj strani druge jednačine.

\begin{cases} x^y = 3^5 \\ 2^{\frac{10}{y}} = \frac{4}{9}x^2 \end{cases}

Iz prve jednačine možemo izraziti $x$ na sledeći način:

x = 3^{\frac{5}{y}}

Zamenimo dobijeni izraz za $x$ u drugu jednačinu.

2^{\frac{10}{y}} = \frac{4}{9} \left(3^{\frac{5}{y}}\right)^2

Kvadrirajmo izraz u zagradi i zapišimo razlomak $\frac{4}{9}$ kao $\frac{2^2}{3^2} .$

2^{\frac{10}{y}} = \frac{2^2}{3^2} \cdot 3^{\frac{10}{y}}

Podelimo obe strane jednačine sa $2^2$ kako bismo grupisali stepene sa istim osnovama.

\frac{2^{\frac{10}{y}}}{2^2} = \frac{3^{\frac{10}{y}}}{3^2}

Primenimo pravilo za deljenje stepena jednakih osnova: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} .$

2^{\frac{10}{y} - 2} = 3^{\frac{10}{y} - 2}

Pošto su osnove različite (2 i 3), jednakost je moguća samo ako su izložioci jednaki nuli.

\frac{10}{y} - 2 = 0

Rešimo dobijenu jednačinu po $y .$

\frac{10}{y} = 2 \implies y = 5

Sada kada imamo vrednost za $y ,$ vratimo se u jednačinu za $x .$

x = 3^{\frac{5}{5}}

Računamo vrednost za $x .$

x = 3

Konačno rešenje sistema je uređeni par $(x, y) .$

(x, y) = (3, 5)

2078.Eksponencijalne jednačine i nejednačine