2796.

Inverzne trignometrijske funkcije

TEKST ZADATKA

Izračunati: arcsin⁡(cos⁡33π5) \arcsin\left(\cos\frac{33\pi}{5}\right) ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uprostiti ugao unutar kosinusa izdvajanjem celih perioda funkcije kosinus (2π 2\pi ).

33π5=30π+3π5=6π+3π5\frac{33\pi}{5} = \frac{30\pi + 3\pi}{5} = 6\pi + \frac{3\pi}{5}

Kako je funkcija kosinus periodična sa osnovnim periodom 2π, 2\pi , važi cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x. \cos(x + 2k\pi) = \cos x .

cos⁡(33π5)=cos⁡(6π+3π5)=cos⁡(3π5)\cos\left(\frac{33\pi}{5}\right) = \cos\left(6\pi + \frac{3\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)

Da bismo iskoristili svojstvo inverznih funkcija arcsin⁡(sin⁡x)=x, \arcsin(\sin x) = x , pretvorićemo kosinus u sinus koristeći vezu cos⁡x=sin⁡(π2−x). \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) .

cos⁡(3π5)=sin⁡(π2−3π5)\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}\right)

Računamo razliku u argumentu sinusa svodeći razlomke na zajednički imenilac.

π2−3π5=5π−6π10=−π10\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5} = \frac{5\pi - 6\pi}{10} = -\frac{\pi}{10}

Sada početni izraz možemo zapisati preko sinusa.

arcsin⁡(cos⁡33π5)=arcsin⁡(sin⁡(−π10))\arcsin\left(\cos\frac{33\pi}{5}\right) = \arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)\right)

Pošto vrednost −π10 -\frac{\pi}{10} pripada intervalu [−π2,π2], \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] , možemo primeniti pravilo arcsin⁡(sin⁡x)=x. \arcsin(\sin x) = x .

arcsin⁡(sin⁡(−π10))=−π10\arcsin\left(\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)\right) = -\frac{\pi}{10}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti