2797.

Inverzne trignometrijske funkcije

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

arctg(−x)=−arctgx\text{arctg}(-x) = -\text{arctg} x
REŠENJE ZADATKA

Uvedimo smenu:

y=arctg(−x)y = \text{arctg}(-x)

Na osnovu definicije arkustangensa, ovo znači da važi:

tgy=−x,y∈(−π2,π2)\text{tg} y = -x, \quad y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Množenjem jednačine sa −1 -1 dobijamo:

x=−tgyx = -\text{tg} y

S obzirom da je tangens neparna funkcija, važi −tgy=tg(−y), -\text{tg} y = \text{tg}(-y) , pa jednačina postaje:

x=tg(−y)x = \text{tg}(-y)

Pošto y∈(−π2,π2), y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) , sledi da i −y∈(−π2,π2). -y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) . Zato možemo primeniti funkciju arkustangens na obe strane jednačine:

arctgx=−y\text{arctg} x = -y

Množenjem sa −1 -1 dobijamo izraz za y: y :

y=−arctgxy = -\text{arctg} x

Vraćanjem smene y=arctg(−x) y = \text{arctg}(-x) dobijamo traženi identitet:

arctg(−x)=−arctgx\text{arctg}(-x) = -\text{arctg} x

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti