TEKST ZADATKA
Dokazati identitet:
arccos(−x)=π−arccosx
REŠENJE ZADATKA
Neka je α=arccosx. Prema definiciji arkuskosinusa, važi:
x=cosα,α∈[0,π] Pomnožimo prethodnu jednakost sa −1 kako bismo dobili izraz za −x:
−x=−cosα Koristeći poznati trigonometrijski identitet cos(π−α)=−cosα, možemo zapisati:
−x=cos(π−α) Da bismo primenili definiciju arkuskosinusa na izraz −x=cos(π−α) i zaključili da je arccos(−x)=π−α, moramo proveriti da li ugao π−α pripada intervalu [0,π].
Pošto znamo da α∈[0,π], množenjem sa −1 dobijamo −α∈[−π,0]. Dodavanjem π svim stranama nejednakosti sledi:
0≤π−α≤π⟹π−α∈[0,π] Kako ugao π−α pripada odgovarajućem intervalu, po definiciji arkuskosinusa možemo pisati:
arccos(−x)=π−α Vraćanjem početne smene α=arccosx dobijamo traženi identitet, čime je dokaz završen:
arccos(−x)=π−arccosx