1467.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu (bikvadratna jednačina):

x4−(9+a2)x2+9a2=0(a∈R)x^4 - (9 + a^2)x^2 + 9a^2 = 0 \quad (a \in \mathbb{R})
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu t=x2. t = x^2 . Kako je kvadrat broja uvek ne-negativan, mora važiti t≥0. t \ge 0 . Zamenom smene u početnu jednačinu, dobijamo kvadratnu jednačinu po promenljivoj t: t :

t2−(9+a2)t+9a2=0t^2 - (9 + a^2)t + 9a^2 = 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine At2+Bt+C=0: At^2 + Bt + C = 0 :

A=1,B=−(9+a2),C=9a2A = 1, \quad B = -(9 + a^2), \quad C = 9a^2

Računamo diskriminantu jednačine D=B2−4AC: D = B^2 - 4AC :

D=[−(9+a2)]2−4⋅1⋅9a2=(9+a2)2−36a2D = [-(9 + a^2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9a^2 = (9 + a^2)^2 - 36a^2

Sređujemo izraz za diskriminantu koristeći kvadrat binoma:

D=81+18a2+a4−36a2=a4−18a2+81=(a2−9)2D = 81 + 18a^2 + a^4 - 36a^2 = a^4 - 18a^2 + 81 = (a^2 - 9)^2

Nalazimo rešenja po t t koristeći kvadratnu formulu t1,2=−B±D2A: t_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} :

t1,2=9+a2±(a2−9)22t_{1,2} = \frac{9 + a^2 \pm \sqrt{(a^2 - 9)^2}}{2}

Računamo konkretne vrednosti za t1 t_1 i t2: t_2 :

t1=9+a2+(a2−9)2=2a22=a2,t2=9+a2−(a2−9)2=182=9t_1 = \frac{9 + a^2 + (a^2 - 9)}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2, \quad t_2 = \frac{9 + a^2 - (a^2 - 9)}{2} = \frac{18}{2} = 9

Vraćamo smenu x2=t x^2 = t za oba rešenja kako bismo pronašli vrednosti promenljive x. x . Prvi slučaj je x2=a2: x^2 = a^2 :

x1=a,x2=−ax_1 = a, \quad x_2 = -a

Drugi slučaj je x2=9: x^2 = 9 :

x3=3,x4=−3x_3 = 3, \quad x_4 = -3

Konačan skup rešenja jednačine je:

x∈{a,−a,3,−3}x \in \{a, -a, 3, -3\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti