1511. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Iz date kvadratne jednačine određujemo koeficijente $a ,$ $b$ i $c :$

a = 1, \quad b = -2(k + 2), \quad c = k^2 + 4

Da bi rešenja kvadratne jednačine bila realna, diskriminanta mora biti veća od ili jednaka nuli ( $D \ge 0$ ). Računamo diskriminantu:

D = b^2 - 4ac = (-2(k + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k^2 + 4)

Kvadriramo i sređujemo izraz za diskriminantu:

D = 4(k^2 + 4k + 4) - 4k^2 - 16 = 4k^2 + 16k + 16 - 4k^2 - 16 = 16k

Iz uslova da su rešenja realna ( $D \ge 0$ ) dobijamo uslov za parametar $k :$

16k \ge 0 \implies k \ge 0

Sada primenjujemo Vijetove formule za zbir i proizvod rešenja jednačine ( $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ i $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ ):

x_1 + x_2 = 2(k + 2), \quad x_1 \cdot x_2 = k^2 + 4

Analiziramo znak proizvoda rešenja. Pošto je kvadrat svakog realnog broja nenegativan ( $k^2 \ge 0$ ), za svaki realan broj $k$ važi:

x_1 \cdot x_2 = k^2 + 4 > 0

Pošto je proizvod rešenja pozitivan, zaključujemo da su rešenja istog znaka (oba pozitivna ili oba negativna).

Zatim analiziramo znak zbira rešenja. Koristeći prethodno dobijeni uslov za realnost rešenja ( $k \ge 0$ ), imamo da je $k + 2 \ge 2 > 0 ,$ pa važi:

x_1 + x_2 = 2(k + 2) > 0

Pošto su rešenja istog znaka, a njihov zbir je pozitivan, zaključujemo da oba rešenja moraju biti pozitivna.

x_1 > 0 \quad \text{i} \quad x_2 > 0

Ovim smo pokazali da su rešenja date jednačine, ukoliko su realna, uvek pozitivni brojevi, čime je dokaz završen.

187