1506. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Neka su traženi sabirci označeni sa $x$ i $y .$ Prema tekstu zadatka, njihov zbir je $21 ,$ što možemo zapisati kao jednačinu:

x + y = 21

Takođe, zbir kvadrata ovih sabiraka je $261 ,$ što nam daje drugu jednačinu:

x^2 + y^2 = 261

Iz prve jednačine možemo izraziti promenljivu $y$ preko $x :$

y = 21 - x

Sada ćemo zameniti izraz za $y$ u drugu jednačinu kako bismo dobili jednačinu sa jednom nepoznatom:

x^2 + (21 - x)^2 = 261

Kvadriramo binom u zagradi koristeći formulu za kvadrat binoma $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 :$

x^2 + (441 - 42x + x^2) = 261

Sređujemo dobijenu jednačinu grupisanjem sličnih članova:

2x^2 - 42x + 441 - 261 = 0

Oduzimamo slobodne članove i dobijamo kvadratnu jednačinu u opštem obliku:

2x^2 - 42x + 180 = 0

Delimo celu jednačinu sa $2$ kako bismo je pojednostavili i olakšali računanje:

x^2 - 21x + 90 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu oblika $ax^2 + bx + c = 0 .$ Prvo računamo diskriminantu koristeći formulu $D = b^2 - 4ac :$

D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 441 - 360 = 81

Pošto je $D > 0 ,$ jednačina ima dva različita realna rešenja. Računamo ih koristeći formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1}

Računamo prvo rešenje (uzimajući znak plus):

x_1 = \frac{21 + 9}{2} = \frac{30}{2} = 15

Računamo drugo rešenje (uzimajući znak minus):

x_2 = \frac{21 - 9}{2} = \frac{12}{2} = 6

Sada kada imamo vrednosti za $x ,$ računamo odgovarajuće vrednosti za $y$ koristeći jednačinu $y = 21 - x .$ Ako je $x = 15 ,$ tada je $y = 6 .$ Ako je $x = 6 ,$ tada je $y = 15 .$ U oba slučaja, traženi sabirci su brojevi $15$ i $6 .$

x = 15, \quad y = 6 \quad \text{ili} \quad x = 6, \quad y = 15

190