1526.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (simetrične jednačine):

2x5+5x4−13x3−13x2+5x+2=02x^5 + 5x^4 - 13x^3 - 13x^2 + 5x + 2 = 0
REŠENJE ZADATKA

Primećujemo da je ovo simetrična jednačina neparnog stepena. Jedno rešenje ovakvih jednačina je uvek x=−1. x = -1 . Proveravamo direktnom zamenom i delimo polinom sa (x+1). (x+1) .

2x5+5x4−13x3−13x2+5x+2=(x+1)(2x4+3x3−16x2+3x+2)=02x^5 + 5x^4 - 13x^3 - 13x^2 + 5x + 2 = (x + 1)(2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2) = 0

Prvo rešenje je x1=−1. x_1 = -1 . Sada rešavamo simetričnu jednačinu četvrtog stepena:

2x4+3x3−16x2+3x+2=02x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2 = 0

Delimo celu jednačinu sa x2 x^2 (pošto x=0 x=0 nije rešenje) i grupišemo članove sa istim koeficijentima:

2(x2+1x2)+3(x+1x)−16=02(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3(x + \frac{1}{x}) - 16 = 0

Uvodimo smenu t=x+1x. t = x + \frac{1}{x} . Tada je x2+1x2=t2−2. x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 . Zamenom u jednačinu dobijamo:

2(t2−2)+3t−16=0  ⟹  2t2+3t−20=02(t^2 - 2) + 3t - 16 = 0 \implies 2t^2 + 3t - 20 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t t koristeći obrazac:

t1,2=−3±9−4⋅2⋅(−20)2⋅2=−3±1694=−3±134t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (-20)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{-3 \pm 13}{4}

Dobijamo dve vrednosti za t: t :

t1=104=52,t2=−164=−4t_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}, \quad t_2 = \frac{-16}{4} = -4

Vraćamo smenu za t1=52: t_1 = \frac{5}{2} :

x+1x=52  ⟹  2x2−5x+2=0x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

x2=2,x3=12x_2 = 2, \quad x_3 = \frac{1}{2}

Vraćamo smenu za t2=−4: t_2 = -4 :

x+1x=−4  ⟹  x2+4x+1=0x + \frac{1}{x} = -4 \implies x^2 + 4x + 1 = 0

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

x4,5=−4±16−42=−4±232=−2±3x_{4,5} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}

Konačan skup rešenja polazne jednačine je:

x∈{−1,2,12,−2+3,−2−3}x \in \{-1, 2, \frac{1}{2}, -2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3}\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti