1527.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu (simetrična jednačina):

6x5−5x4−29x3−29x2−5x+6=06x^5 - 5x^4 - 29x^3 - 29x^2 - 5x + 6 = 0
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je ovo simetrična jednačina neparnog stepena. Kod ovakvih jednačina jedno rešenje je uvek x1=−1. x_1 = -1 . Proveravamo zamenom: 6(−1)5−5(−1)4−29(−1)3−29(−1)2−5(−1)+6=−6−5+29−29+5+6=0. 6(-1)^5 - 5(-1)^4 - 29(-1)^3 - 29(-1)^2 - 5(-1) + 6 = -6 - 5 + 29 - 29 + 5 + 6 = 0 .

x1=−1x_1 = -1

Delimo polinom sa (x+1) (x + 1) koristeći Hornerovu šemu ili deljenje polinoma kako bismo dobili simetričnu jednačinu četvrtog stepena.

(x+1)(6x4−11x3−18x2−11x+6)=0(x + 1)(6x^4 - 11x^3 - 18x^2 - 11x + 6) = 0

Sada rešavamo simetričnu jednačinu četvrtog stepena. Pošto x=0 x = 0 nije rešenje, delimo celu jednačinu sa x2: x^2 :

6x2−11x−18−11x+6x2=06x^2 - 11x - 18 - \frac{11}{x} + \frac{6}{x^2} = 0

Grupišemo odgovarajuće članove:

6(x2+1x2)−11(x+1x)−18=06\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 11\left(x + \frac{1}{x}\right) - 18 = 0

Uvodimo smenu t=x+1x. t = x + \frac{1}{x} . Tada je t2=x2+2+1x2, t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} , odnosno x2+1x2=t2−2. x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .

6(t2−2)−11t−18=06(t^2 - 2) - 11t - 18 = 0

Sređujemo kvadratnu jednačinu po t: t :

6t2−11t−30=06t^2 - 11t - 30 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine po t: t :

t1,2=11±121−4⋅6⋅(−30)12=11±84112=11±2912t_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 6 \cdot (-30)}}{12} = \frac{11 \pm \sqrt{841}}{12} = \frac{11 \pm 29}{12}

Dobijamo dve vrednosti za t: t :

t1=4012=103,t2=−1812=−32t_1 = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}, \quad t_2 = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}

Vraćamo smenu za t1=103: t_1 = \frac{10}{3} :

x+1x=103  ⟹  3x2−10x+3=0x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0

Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo rešenja:

x2=3,x3=13x_2 = 3, \quad x_3 = \frac{1}{3}

Vraćamo smenu za t2=−32: t_2 = -\frac{3}{2} :

x+1x=−32  ⟹  2x2+3x+2=0x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2} \implies 2x^2 + 3x + 2 = 0

Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo konjugovano-kompleksna rešenja jer je diskriminanta negativna D=9−16=−7: D = 9 - 16 = -7 :

x4,5=−3±i74x_{4,5} = \frac{-3 \pm i\sqrt{7}}{4}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x∈{−1,3,13,−3+i74,−3−i74}x \in \left\{ -1, 3, \frac{1}{3}, \frac{-3 + i\sqrt{7}}{4}, \frac{-3 - i\sqrt{7}}{4} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti