1238.

71.v

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza sa kompleksnim brojevima:

z=1i+(1+i2)4z = \frac{1}{i} + \left(\frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)^4
REŠENJE ZADATKA

Prvo sređujemo razlomak 1i \frac{1}{i} tako što ga proširujemo sa i. i .

1i⋅ii=ii2=i−1=−i\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i

Zatim računamo stepen drugog člana. Prvo ćemo kvadrirati izraz u zagradi, pa onda taj rezultat ponovo kvadrirati.

(1+i2)4=[(1+i2)2]2\left(\frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)^4 = \left[ \left(\frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)^2 \right]^2

Računamo kvadrat unutrašnjeg izraza koristeći formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

(1+i2)2=1+2i+i22=1+2i−12=2i2=i\left(\frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i

Sada dobijeni rezultat i i dižemo na kvadrat da bismo dobili četvrti stepen.

(i)2=−1(i)^2 = -1

Sabiramo dobijene rezultate oba člana izraza.

z=−i+(−1)z = -i + (-1)

Konačan rezultat zapisujemo u standardnom obliku kompleksnog broja a+bi. a + bi .

z=−1−iz = -1 - i