1124.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost realnog broja x koji je definisan izrazom:

x=2+53+2−53x = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}
REŠENJE ZADATKA

Označimo traženi izraz sa x x i stepenujemo celu jednačinu na treći stepen koristeći formulu za zbir kubova: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b). (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) .

x3=(2+53+2−53)3x^3 = \left( \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \right)^3

Primenom formule dobijamo sumu kubova i trostruki proizvod članova:

x3=(2+5)+(2−5)+3⋅2+53⋅2−53⋅(2+53+2−53)x^3 = (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) + 3 \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}})

Sredimo prvi deo izraza i primetimo da je poslednja zagrada zapravo naše početno x: x :

x3=4+3⋅(2+5)(2−5)3⋅xx^3 = 4 + 3 \cdot \sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \cdot x

Računamo vrednost pod korenom koristeći razliku kvadrata:

22−(5)23=4−53=−13=−1\sqrt[3]{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt[3]{4 - 5} = \sqrt[3]{-1} = -1

Zamenom izračunate vrednosti dobijamo kubnu jednačinu po x: x :

x3=4+3⋅(−1)⋅x  ⟹  x3+3x−4=0x^3 = 4 + 3 \cdot (-1) \cdot x \implies x^3 + 3x - 4 = 0

Primetimo da je x=1 x = 1 jedno rešenje jednačine jer je 13+3(1)−4=0. 1^3 + 3(1) - 4 = 0 . Deljenjem polinoma ili grupisanjem članova proveravamo ostala rešenja:

(x−1)(x2+x+4)=0(x-1)(x^2 + x + 4) = 0

Kvadratna jednačina x2+x+4=0 x^2 + x + 4 = 0 nema realna rešenja jer je diskriminanta negativna. Pošto je naš početni izraz realan broj, jedino moguće rešenje je:

x=1x = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti