1123. Korenovanje | Balkan Tutor

Pretpostavimo da se izrazi pod kubnim korenima mogu zapisati kao kubovi binoma oblika $(a + b\sqrt{2})^3 .$ Razvijamo taj izraz:

(a + b\sqrt{2})^3 = a^3 + 3a^2b\sqrt{2} + 3a(b\sqrt{2})^2 + (b\sqrt{2})^3

Sređivanjem dobijamo sistem jednačina po $a$ i $b :$

\begin{cases} a^3 + 6ab^2 = 20 \\ 3a^2b + 2b^3 = 14 \end{cases}

Proveravamo celobrojna rešenja. Ako uzmemo $a = 2$ i $b = 1 ,$ dobijamo:

\begin{cases} 2^3 + 6 \cdot 2 \cdot 1^2 = 8 + 12 = 20 \\ 3 \cdot 2^2 \cdot 1 + 2 \cdot 1^3 = 12 + 2 = 14 \end{cases}

Zaključujemo da važe sledeće jednakosti za potkorene veličine:

20 + 14\sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})^3 \quad \text{i} \quad 20 - 14\sqrt{2} = (2 - \sqrt{2})^3

Zamenjujemo ove vrednosti u početni izraz i vršimo korenovanje:

A = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{(2 - \sqrt{2})^3}

Nakon skraćivanja korena i stepena, računamo finalni zbir:

A = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4

1123.
Korenovanje