1130.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Uprostiti sledeći izraz:

(3+2−(3−2)1/2)((3+2)1/2+3−2)−1\left(\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{1/2}\right) \left((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{1/2} + \sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\right)^{-1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo primećujemo da su zapisi x \sqrt{x} i x1/2 x^{1/2} ekvivalentni. Uvodimo smene radi lakšeg računanja: neka je a=3+2 a = \sqrt{3} + \sqrt{2} i b=3−2. b = \sqrt{3} - \sqrt{2} . Izraz tada postaje:

a−ba+b\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}

Vršimo racionalizaciju dobijenog izraza množenjem i brojioca i imenioca sa a−b: \sqrt{a} - \sqrt{b} :

a−ba+b⋅a−ba−b=(a−b)2a−b\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a - b}

Kvadriramo brojilac koristeći formulu za kvadrat razlike (x−y)2=x2−2xy+y2: (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 :

a−2ab+ba−b\frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{a - b}

Vraćamo vrednosti za a a i b. b . Primetimo da je proizvod ab ab razlika kvadrata:

ab=(3+2)(3−2)=(3)2−(2)2=3−2=1ab = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1

Računamo vrednosti za zbir a+b a+b i razliku a−b a-b u imeniocu:

a+b=(3+2)+(3−2)=23a−b=(3+2)−(3−2)=22a + b = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} \\ a - b = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u izraz iz koraka 3:

23−2122=23−222=2(3−1)22=3−12\frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{1}}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{2\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}

Konačno, racionalizujemo rezultat množenjem sa 22: \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} :

3−12⋅22=6−22\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti